筛选法求素数

　　求素数的程序是笔试或面试中会经常被问到的题目，大四找工作面试时，就被一个面试官问到了，虽然写出的代码能够完成题目要求，但是面试官并不满意，原因当然在程序的效率上，面试官反复问及如何对原有程序进行优化，想了半天除了将偶数剔除，再无其他想法，这也导致最后投递的岗位从研发变成offer中的测试。

　　素数的定义为，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除（除0以外）的数称之为素数（质数）；否则称为合数。对计算机专业的毕业生来说，这道题并不陌生，比如求N以内的所有素数，通常的解法为：

 1 void PrimeNum(int n)  2 {  3     bool *bIsPrime = new bool[n+1];    //申请n+1来表示从1到n
 4     for(int i=0; i!=n+1; i++)  5         if(i%2 == 0)  6             bIsPrime[i] = false;  7         else
 8             bIsPrime[i] = true;  9 
10     bIsPrime[2] = true;    //2为素数
11 
12     int j, k, nSqrt; 13     for(j=3; j<=n; j+=2) 14  { 15         nSqrt = sqrt(j); 16         for(k=3; k<=nSqrt; k++) 17             if(j%k == 0) 18  { 19                 bIsPrime[j] = false; 20                 break; 21  } 22  } 23 
24     //cout<<n<<"以内的素数有:"<<endl; 25     //for(k=2; k<=n; k++) 26     // if(bIsPrime[k]) 27     // cout<<k<<" "; 28     //cout<<endl;
29 
30  delete[] bIsPrime; 31 }

　　代码段line15-21，是这个求素数的核心思想：如果一个数是合数，那么它的最小质因数肯定小于等于他的平方根。例如：50，最小质因数是2，2<50的开根号。所以判断一个数是否是质数，只需判断它是否能被小于它开跟后的所有数整除。面试时给出的答案与上面思想一致，但是没有满足面试官对效率的要求。之后了解到筛选法求素数，核心思想是找到一个素数，那么这个素数与任何一个数的积是合数，这样就可以把这些合数筛掉。实现代码如下：

 1 void PrimeNumFilter(int n)
 2 {
 3     bool *bIsPrime = new bool[n+1];    //申请n+1来表示从1到n
 4     for(int i=0; i!=n+1; i++)
 5         if(i%2 == 0)
 6             bIsPrime[i] = false;
 7         else
 8             bIsPrime[i] = true;
 9 
10     bIsPrime[2] = true;    //2为素数
11 
12     int j, k;
13     int sqn = sqrt(n);　　//只需递增至sqrt(n)即可，因为对于一个数n来说，最大因子就是sqrt(n)，这里指内层循环中j*k的值
14     for(j=3; j<=sqn; j+=2)
15     {
16         if(bIsPrime[j])
17         {
18             for(k=2; j*k<=n; k++)
19                 bIsPrime[j*k]=false;
20         }
21     }
22 
23     //cout<<n<<"以内的素数有:"<<endl;
24     //for(k=2; k<=n; k++)
25     //    if(bIsPrime[k])
26     //        cout<<k<<"  ";
27     //cout<<endl;
28 
29     delete[] bIsPrime;
30 }

　　代码段line15-19是实现筛选法的关键，如果一个数是素数，那么它与另一个数的乘积为合数。这个版本的是上一个版本的优化，关于效率的提高，来看看下面的测试代码，分别用两个版本的函数来计算10000000以内的所有素数，打印cpu耗时进行对比：

 1 int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])  2 {  3  clock_t start, end;  4     start = clock();  5     PrimeNum(10000000);  6     end = clock();  7 
 8     cout<<"cost cpu time: "<<end - start<<endl;  9 
10     start = clock(); 11     PrimeNumFilter(10000000); 12     end = clock(); 13     cout<<"cost cpu time: "<<end - start<<endl; 14 
15     return 0; 16 }

 　　在VS2012中执行结果如下图：

　　可以看出使用筛选法求素数，程序的效率与普通版本相比得到了很大的提升，而这种优化非常考验程序员的观察力。写好一个程序，仍然需要仔细的分析代码，并且结合源数据的特点（有时会用到数学知识），看看有没有更好的算法，能够提高效率，优化性能。