数学之美 二十四 从全球导航到输入法——谈谈动态规划

今年九月二十三日，Google、T-Mobile 和 HTC 宣布了第一款基于开源操作系统 Android 的 3G 手机，其中一个重要的功能是利用全球卫星定位系统实现全球导航。这个功能在其它手机中早已使用，并且早在五六年前就已经有实现这一功能的车载设备出售。其中的关键技术只有两个：第一是利用卫星定位；第二根据用户输入的起终点，在地图上规划最短路线或者最快路线。后者的关键算法是计算机科学图论中的动态规划（Dynamic Programming）的算法。
   


在图论（请见拙著《图论和网络爬虫》）中，一个抽象的图包括一些节点和连接他们的弧。比如说中国公路网就是一个很好的“图”的例子：每个城市一是个节点，每一条公路是一个弧。图的弧可以有权重，权重对应于地图上的距离或者是行车时间、过路费金额等等。图论中很常见的一个问题是要找一个图中给定两个点之间的最短路径（shortest path）。比如，我们想找到从北京到广州的最短行车路线或者最快行车路线。当然，最直接的笨办法是把所有可能的路线看一遍，然后找到最优的。这种办法只有在节点数是个位数的图中还行得通，当图的节点数（城市数目）有几十个的时候，计算的复杂度就已经让人甚至计算机难以接受了，因为所有可能路径的个数随着节点数的增长而成呈指数增长（或者说几何级数），也就是说每增加一个城市，复杂度要大一倍。显然我们的导航系统中不会用这种笨办法。

所有的导航系统采用的都是动态规划的办法（Dynamic Programming），这里面的规划（programming）一词在数学上的含义是“优化”的意思，不是计算机里面编程的意思。它的原理其实很简单。以上面的问题为例，当我们要找从北京到广州的最短路线时，我们先不妨倒过来想这个问题：假如我们找到了所要的最短路线（称为路线一），如果它经过郑州，那么从北京到郑州的这条子路线（比如是北京-> 保定->石家庄->郑州，称为子路线一），必然也是所有从北京到郑州的路线中最短的。否则的话，我们可以假定还存在从北京到郑州更短的路线（比如北京->济南->徐州->郑州，称为子路线二），那么只要用这第二条子路线代替第一条，我们就可以找到一条从北京到广州的全程更短的路线（称为路线二），这就和我们讲的路线一是北京到广州最短的路线相矛盾。其矛盾的根源在于，我们假设的子路线二或者不存在，或者比子路线一还来得长。

在实际实现算法时，我们又正过来解决这个问题，也就是说，要想找到从北京到广州的最短路线，先要找到从北京到郑州的最短路线。当然，聪明的读者可能已经发现其中的一个“漏洞”，就是我们在还没有找到全程最短路线前，不能肯定它一定经过郑州。不过没有关系，只要我们在图上横切一刀，这一刀要保证将任何从北京到广州的路一截二，如下图。
   


那么从广州到北京的最短路径必须经过这一条线上的某个城市（图中蓝色的菱形）。我们可以先找到从北京出发到这条线上所有城市的最短路径，最后得到的全程最短路线一定包括这些局部最短路线中的一条，这样，我们就可以将一个“寻找全程最短路线”的问题，分解成一个个小的寻找局部最短路线的问题。只要我们将这条横切线从北京向广州推移，直到广州为止，我们的全程最短路线就找到了。这便是动态规划的原理。采用动态规划可以大大降低最短路径的计算复杂度。在我们上面的例子中，每加入一条横截线，线上平均有十个城市，从广州到北京最多经过十五个城市，那么采用动态规划的计算量是 10×10×15，而采用穷举路径的笨办法是 10 的 15 次方，前后差了万亿倍。

那么动态规划和我们的拼音输入法又有什么关系呢？其实我们可以将汉语输入看成一个通信问题，而输入法则是一个将拼音串到汉字串的转换器。每一个拼音可以对应多个汉字，一个拼音串就可以对应图论中的一张图，如下：
   


其中，Y1,Y2,Y3,……,YN 是使用者输入的拼音串，W11,W12,W13 是第一个音 Y1 的候选汉字，W21,W22,W23,W24 是对应于 Y2 的候选汉字，以此类推。从第一个字到最后一个字可以组成很多很多句子，我们的拼音输入法就是要根据上下文找到一个最优的句子。如果我们再将上下文的相关性量化，作为从前一个汉字到后一个汉字的距离，那么，寻找给定拼音条件下最合理句子的问题就变成了一个典型的“最短路径”问题，我们的算法就是动态规划。

上面这两个例子导航系统和拼音输入法看似没什么关系，但是其背后的数学模型却是完全一样的。数学的妙处在于它的每一个工具都具有相当的普遍性，在不同的应用中都可以发挥很大的作用。

我们在下一个系列将详细介绍专门针对拼音输入法的“维特比算法”。