欧拉函数

当 n为1至1000的整数时 的值

 

 

 

在數論中，對正整數n，歐拉函數是小於或等於n的正整數中與n互質的數的數目。此函數以其首名研究者歐拉命名，它又稱為φ函數、歐拉商數等。

例如，因為1,3,5,7均和8互質。

欧拉函数实际上是模n的同余类所构成的乘法群（即环的所有单位元组成的乘法群）的阶。这个性质与拉格朗日定理一起構成了欧拉定理的證明。

 

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欧拉函數的值

（小于等于1的正整数中唯一和1互質的數就是1本身）。

若n是質數p的k次冪，，因為除了p的倍數外，其他數都跟n互質。

歐拉函數是積性函數，即是说若m,n互質，。證明：設A, B, C是跟m, n, mn互質的數的集，據中國剩餘定理，和C可建立雙射(一一對應)的關係。因此的值使用算術基本定理便知，

若

則 。

例如

性质

n的欧拉函数 也是循环群 C_n 的生成元的个数（也是n阶分圆多项式的次数）。C_n 中每个元素都能生成 C_n 的一个子群，即必然是某个子群的生成元。而且按照定义，不同的子群不可能有相同的生成元。此外， C_n 的所有子群都具有 C_d 的形式，其中d整除n（记作d | n）。因此只要考察n的所有因数d，将 C_d 的生成元个数相加，就将得到 C_n 的元素总个数：n。也就是说：

其中的d为n的正约数。

运用默比乌斯反转公式来“翻转”这个和，就可以得到另一个关于的公式：

其中 μ 是所谓的默比乌斯函数，定义在正整数上。

對任何兩個互質的正整數a, m（即 gcd(a,m) = 1），，有

即欧拉定理。

这个定理可以由群论中的拉格朗日定理得出，因为任意与m互质的a都属于环 的单位元组成的乘法群

當m是質數p時，此式則為：

即費馬小定理。

生成函数

以下两个由欧拉函数生成的级数都是来自于上节所给出的性质：。

由(n)生成的狄利克雷级数是：

其中ζ(s)是黎曼ζ函数。推导过程如下：

使用开始时的等式，就得到：

于是

欧拉函数生成的朗贝级数如下：

其对于满足 |q|<1 的q收敛。

推导如下：

后者等价于：

 欧拉函数的走势

随着n变大，估计 的值是一件很难的事。当n为质数时，，但有时又与n差得很远。

在n足够大时，有估计：

对每个 ε > 0，都有 n > N(ε)使得

如果考虑比值：

由以上已经提到的公式，可以得到其值等于类似1 − p ^{− 1}的项的乘积。因此，使比值小的n将是两两不同的质数的乘积。由素数定理可以知道，常数 ε 可以被替换为：

就平均值的意义上来说是与n很相近的，因为：

其中的O表示大O符号。这个等式也可以说明在集合 {1, 2, ..., n} 中随机选取两个数，则当n趋于无穷大时，它们互质的概率趋于 6 / π² 。一个相关的结果是比值的平均值：

其他与欧拉函数有关的等式

2. 使得
3. 使得

 与欧拉函数有关的不等式

1. ，其中n > 2，γ 为欧拉-马歇罗尼常数。
2. ，其中n > 0。
3. 对整数n > 6，。
4. 当n为质数时，显然有。对于合数的n，则有：

参考来源

• Milton Abramowitz、Irene A. Stegun， Handbook of Mathematical Functions， (1964) Dover Publications , New York. ISBN 0-486-61272-4. 24.3.2节.

• Eric Bach、Jeffrey Shallit， Algorithmic Number Theory, 卷 1, 1996, MIT Press. ISBN 0-262-02405-5, 8.8节，234页.

• Kevin Ford, The number of solutions of φ(x)=m, Ann. of Math. 150(1999), 283--311.

• 柯召，孙琦：数论讲义（上册），第二版，高等教育出版社，2001