关于采用matlab进行指定非线性方程拟合的问题(2)

一。优化工具箱函数
LSQNONLIN 解决非线性最小二乘法问题，包括非线性数据拟合问题
LSQCURVEFIT <wbr>解决非线性数据拟合问题<br> 下面给出利用这两个函数的例子：<br> LSQNONLIN：利用这个函数最小化连续函数只能够找到句柄解。下面的例子说明利用LSQNONLIN函数用下面的函数进行拟合：<br><wbr><wbr><wbr><wbr>f = A + B exp(C*x)+D*exp(E*x)<br> 对数据集x与y进行拟合，其中y是在给定x的情况下的期望输出(可以是方程给出数组，也可以是单独数据组成的数组)。为了解决这个问题，先建立下面的名为 fit_simp.m的函数，它利用数据x与y，将他们作为优化输入参数传递给LSQNONLIN。利用给定的数据x计算f的值，再与原始数据y进行比较。经验值与实际计算出的值之间的差异作为输出值返回。LSQNOLIN函数就是最小化这些差的平方和。<br> function <wbr>diff = fit_simp(x,X,Y)<br> % 此函数被LSQNONLIN调用<br> % x 是包含等式系数的向量<br> % X 与 Y 是作为操作数传递给lsnonlin<br> A = x(1);<br> B = x(2);<br> C = x(3);<br> D = x(4);<br> E = x(5);<br> diff = A + B.*exp(C.*X)+D.*exp(E.*X)-Y;</wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>

下面的脚本是利用上面定义的fit_simp.m函数的一个例子：
％ 定义你打算拟合的数据集合
>> X=0:.01:.5;
>> Y=2.0.*exp(5.0.*X)+3.0.*exp(2.5.*X)+1.5.*rand(size(X));
％ 初始化方程系数
>> X0=[1 1 1 1 1]';
％ 设置用中等模式（memdium-scale）算法
>> options=optimset('Largescale','off');
％ 通过调用LSQNONLIN重现计算新的系数
>> x=lsqnonlin(@fit_simp,X0,[],[],options,X,Y);
％ 调用LSQNONLIN结果输出表明拟合是成功的
Optimization terminated successfully:
Gradient in the search direction less than tolFun
Gradient less than 10*(tolFun+tolX)
％ 绘制原始数据与新的计算的数据
>> Y_new=x(1)+x(2).*exp(x(3).*X)+x(4).*exp(x(5).*X);
>> plot(X,Y,'+r',X,Y_new,'b');

※注意：LSQNONLIN 只可以处理实数变量。在处理包括复数变量的实例的拟合的时候，数据集应该被切分成实数与虚数部分。下面给出一个例子演示如何对复数参数进行最小二乘拟合。
为了拟合复数变量，你需要将复数分解为实数部分与虚数部分，然后把他们传递到函数中去，这个函数被LEASTSQ作为单个输入调用。首先，将复数分解为实部与虚部两个向量。其次，将这两个向量理解成诸如第一部分是实部、第二部分是虚部。在MATLAB函数中，重新装配复数数据，并用你想拟合的复数方程计算。将输出向量分解实部与虚部，将这两部分连接为一个单一的输出向量传递回LEASTSQ。下面，给出一个例子演示如何根据两个复数指数拟合实数X与Y。
建立方程：
<wbr>function zero = fit2(x,X,Y)<br> % 根据输入x重建复数输入<br> cmpx = x(1:4)+i.*x(5:8);<br> % 利用复数计算函数<br> zerocomp = cmpx(1).*exp(cmpx(2).*X) + cmpx(3).* exp(cmpx(4).*X)-Y;<br> % 将结果转换成一个列向量<br> % 其中第一部分是实部，第二部分是虚部<br> numx = length(X); % 实部长度<br> zero=real(zerocomp); %实部<br> zero(numx+1:2*numx)=imag(zerocomp); % 虚部<br><wbr><wbr><wbr>为了评价计算这个函数，需要X与Y数据集。LSQNONLIN将根据它拟合出下面方程中的参数a，b，c与d：<br><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr>Y = a*exp(b*X)+c*exp(d*X);<br> 其中，a，b，c与d是复数变量。</wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>

>> X=0:.1:5;
>> Y=sin(X);
>> Y=Y+.1*rand(size(Y))-.05;
>> cmpx0=[1 i 2 2*i];
>> x0(1:4)=real(cmpx0);
>> x0(5:8)=imag(cmpx0);
>> x=leastsq(@fit2,x0,[],[],X,Y);
>> cmpx=x(1:4)+i.*x(5:8);
>> Y1=real(cmpx(1).*exp(cmpx(2).*X)+cmpx(3).*exp(cmpx(4).*X));
>> plot(X,Y1,'r');
>> hold on
>> plot(X,Y,'+');


二。LSQCURVEFIT：利用此函数可以在最小二乘意义上解决非线性曲线拟合（数据拟合）问题。也就是说，给定输入数据xdata，以及观测的输出数据ydata，找到系数x，使得函数F(x，xdata)能够最好的拟合向量值。LSQCURVEFIT利用与LSQNONLIN相同的算法。它的目的在于专门为数据拟合问题提供一个接口。
在拟合的时候，2维、3维或者N维参数拟合是没有什么差别的。下面给出一个3维参数拟合的例子。待拟合函数是：
<wbr><wbr>z = a1*y.*x..^2+a2*sin(x)+a3*y.^3;<br> 建立的myfun.m的函数如下：<br> function F = myfun(a, data);<br> x = data(1,:);<br> y = data(2,:);<br> F= a(1)*y.*x.^2+a(2)*sin(x)+a(3)*y.^3;<br> 下面的脚本展示了这么利用上面的函数：<br><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr>&gt;&gt; xdata= [3.6 7.7 9.3 4.1 8.6 2.8 1.3 7.9 10.0 5.4];<br> &gt;&gt; ydata= [16.5 150.6 263.1 24.7 208.5 9.9 2.7 163.9 325.0 54.3];<br> &gt;&gt; zdata= [95.09 23.11 60.63 48.59 89.12 76.97 45.68 1.84 82.17 44.47];<br> &gt;&gt; data=[xdata; ydata];<br> &gt;&gt; a0= [10, 10, 10]; % 初识揣测<br> &gt;&gt; [a, resnorm] = lsqcurvefit(@myfun,a0,data,zdata)<br> Maximum number of function evaluations exceeded;<br> increase options.MaxFunEvals<br> a = 0.0088 <wbr>-34.2886 <wbr><wbr>-0.0000<br> resnorm = 2.2636e+004<br> &gt;&gt; format long<br> &gt;&gt; a<br> a = <wbr>0.00881645527493 -34.28862491919983 <wbr>-0.00000655131499<br> &gt;&gt; option=optimset('MaxFunEvals',800);<br> &gt;&gt; [a, resnorm] = lsqcurvefit(@myfun,a0, data, zdata, [], [], option)<br> Optimization terminated successfully:<br> Relative function value changing by less than OPTIONS.TolFun<br> a = <wbr>0.00740965259653 -20.21201417111138 <wbr>-0.00000502014964<br> resnorm = 2.195886958305428e+004<br><br> 统计工具箱函数<br> 函数名 <wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr>描述<br> nlinfit（非线性回归） <wbr>采用Gauss-Newton法进行非线性最小二乘数据拟合<br> lscov（线性回归） <wbr><wbr>根据已知协方差矩阵进行最小二乘估计<br> regress <wbr><wbr>多元线性回归<br> regstats <wbr><wbr>回归诊断<br> ridge <wbr><wbr>脊回归（？Ridge regress）<br> rstool <wbr><wbr>多维响应表面可视化（RSV）<br> stepwise <wbr><wbr>交互式逐步回归<br> 具体例子请参阅相应文档<br></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>