重学数据结构007――二叉查找树

    之前的博客中提到过，我学习采用的参考书是《数据结构与算法分析——C语言描述》。这门书的组织安排与国内广泛实用的教材《数据结构——C语言版》比较不同。这本书描述了一些树和二叉树的概念，举例讲解了什么是树的三种遍历之后，就开始重点讲解二叉查找树、平衡二叉树、AVL树、伸展树、B数了。这一篇博客，重点学习二叉查找树的概念和基本操作。

    大家都知道，树的定义本身就带有递归性。因此，树的很多操作都涉及到了递归。二叉查找树的定义如下：

    1.二叉查找树首先是一棵二叉树；

    2.二叉查找树除了是二叉树外，还具有以下性质：对于树中的任何一个节点X，其左子树中的所有节点的关键字均小于X的关键字的值；而其右子树中的所有关键字的值均大于X的关键字的值。下面两棵二叉树中，左边的二叉树是二叉查找树而右边的不是。

 

    二叉查找树的数据结构定义如下：

typedef int ElementType;
typedef struct TreeNode *Position;
typedef Position BiSearchTree;
struct TreeNode
{
    ElementType Element;
    BiSearchTree Left,Right;
};

    二叉查找树的常用操作如下：

BiSearchTree MakeEmpty(BiSearchTree Tree);
Position Find(ElementType X, BiSearchTree T);
Position FindMin(BiSearchTree T);
Position FindMax(BiSearchTree T);
BiSearchTree Insert(ElementType X,BiSearchTree T);
BiSearchTree Delete(ElementType X, BiSearchTree T);

    二叉排序树的操作与之前学习的一些数据结构的操作相比，可能难理解一些。下面我们挑比较难的几个一一讲解。

    1.二叉查找树中查找指定的元素Find

    二叉排序树的性质是二叉排序树很多操作的基本依据。既然要查找指定元素X，先比较X与根节点元素的关系，如果刚好相等，直接返回啦；如果X小于根节点的元素值，那么去根节点的左子树中查找，也就是调用Find方法，只是传递的参数是X和根节点的左子树；如果X大于根节点的元素值，那么去根节点的右子树中查找，也就是调用Find函数，只是传递的参数是X和根节点的右子树。

    2.查找最小元素FindMin和最大元素FindMax

    这两个操作是类似的。采用迭代或者递归都可以实现，查找最小元素只需要沿着左子树访问下去，查找最大元素则相反。下面我们会分别采用递归和迭代实现这两个操作。

    3.插入操作Insert

    插入操作其实类似于查找操作，插入过过程其实就是先得找到一个合适的位置。插入其实有下面几个情况：

    (1)如果函数传进来的是空树，那么创建一棵树，将其元素值设置为X。这种情况显而易见；

    (2)如果不是空树，那就比较根节点元素值和X的大小，如果X的值小于根节点的元素值，而此时的根节点的左子树为空，那么根节点的左孩子就是X元素的归宿啦；同样的道理，如果X的值大于根节点的元素值，而此时根节点的右子树为空，那么根节点的右孩子就是X元素的归宿啦。把握住这一点其实基本上就能把握住这个操作了。文字描述可能比较抽象，下面看图：

    左边的图，如果要插入5，沿着树一直找到节点4，这时5>4并且4的右孩子为空，那么5就是4的右孩子。右边的图，要想插入8，沿着树找到9，发现8<9且9的左孩子为空，那么8就是9的左孩子。

    当然，在实现这样一个过程的时候可以使用递归。

    4.删除操作Delete

    删除操作是我认为最复杂最不好理解的一个操作。如果没有仔细想明白整个过程，上来就看代码的话可能会很晕。删除操作分两步：第一步是查找，找的过程就涉及元素值之间的比较。我们重点说找到之后的操作。假设我们找到了这个节点，现在要删除，涉及三种情况：

    (1)该节点是叶子。这还有什么好说的，直接删了一了百了；

    (2)该节点只有一个孩子节点。也不复杂，让该节点的父节点直接指向其子节点就行了。当然，也别忘了回收该节点；

    (3)该节点有两个孩子：找到该节点右子树中最小的节点，将其元素值赋给该节点，然后删除那个最小节点。这种情况看图：

 

    说了半天了，下面看看完整的代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

typedef int ElementType;
typedef struct TreeNode *Position;
typedef Position BiSearchTree;
struct TreeNode
{
    ElementType Element;
    BiSearchTree Left,Right;
};

//建立一颗空树
BiSearchTree MakeEmpty(BiSearchTree Tree)
{
    if(!Tree)
    {
        MakeEmpty(Tree->Left);
        MakeEmpty(Tree->Right);
        free(Tree);
    }
    return NULL;
}
//二叉查找树的Find操作
Position Find(ElementType X, BiSearchTree T)
{
    if(T == NULL)
    {
        return NULL;
    }
    else
    {
        //关键字小于根节点的元素值
        if(X < T->Element)
        {
            return Find(X,T->Left);
        }
        else if(X > T->Element)
        {
            return Find(X,T->Right);
        }
        else
        {
            return T;
        }
    }
}
//查找最小值:递归写法
Position FindMin(BiSearchTree T)
{
    if(T == NULL)
    {
        return NULL;
    }
    else
    {
        if(T->Left == NULL)
        {
            return T;
        }else
        {
            return FindMin(T->Left);
        }
    }
}

//查找最大值：非递归写法
Position FindMax(BiSearchTree T)
{
    if(T->Right != NULL)
    {
        while(T->Right != NULL)
        {
            T = T->Right;
        }
    }
    return T;
}
//插入元素X
BiSearchTree Insert(ElementType X,BiSearchTree T)
{
    //当树为空树时
    if(T == NULL)
    {
        T = malloc(sizeof(struct TreeNode));
        if(T == NULL)
        {
            fprintf(stderr,"Out of Space!!!");
        }
        else
        {
            T->Element = X;
            T->Left = NULL;
            T->Right = NULL;
        }
    }
    //树不为空时
    else
    {
        if(X < T->Element)
        {
            T->Left = Insert(X,T->Left);
        }
        else if(X > T->Element)
        {
            T->Right = Insert(X,T->Right);
        }
        else
        {
            //do nothing!
        }
    }
    return T;
}

//删除节点X
BiSearchTree Delete(ElementType X, BiSearchTree T)
{
    Position TmpCell;
    if(T==NULL)
    {
        fprintf(stderr,"Element does not exist!");
    }
    else if(X < T->Element)
    {
        T->Left = Delete(X,T->Left);
    }
    else if(X > T->Element)
    {
        T->Right = Delete(X,T->Right);
    }
    else if(T->Left && T->Right)
    {
        TmpCell = FindMin(T->Right);
        T->Element = TmpCell->Element;
        T->Right = Delete(T->Element,T->Right);
    }
    else
    {
        TmpCell = T;
        if(T->Left == NULL)
        {
            T = T->Right;
        }
        else if(T->Right == NULL)
        {
            T = T->Left;
        }
        free(TmpCell);
    }
    return T;
}

int main(void)
{
    BiSearchTree T;
    int index;
    int arr[10] = {10,9,8,7,6,1,2,3,4,5};
    T = NULL;
    for(index=0; index < 10; index++)
    {
        T = Insert(arr[index],T);
    }
    T = Insert(18,T);
    T = Insert(15,T);
    printf("The minimum element is %d\n",FindMin(T)->Element);
    printf("The maxmium element is %d\n",FindMax(T)->Element);
    return 0;
}