最短路径算法简介

最短路径算法简介

据所知最短路经算法现在的应用有计算机网络路由算法，机器人探路，交通路线导航，人工智能，游戏设计等。据说，美国火星探测器核心的寻路算法就是采用的D*（D Star）算法。

    最短路经计算分静态最短路计算和动态最短路计算。

    静态路径最短路径算法 是外界环境不变，计算最短路径。主要有Dijkstra算法，A*（A Star）算法。 

    动态路径最短路径算法 是外界环境不断发生变化，在不能预测的情况下计算最短路，如游戏中敌人或障碍物不断移动的情况下。典型的有D*算法。　

真实路网计算K条路径示例： 节点5696到节点3006，三条最快速路，可以看出路径基本上走环线或主干路。黑线为第一条，兰线为第二条，红线为第三条。约束条件系数为1.2。共享部分路段。 显示计算部分完全由Drew自己开发的程序完成。

　 Dijkstra 算法求最短路径：

Dijkstra 算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。

Dijkstra 算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。

Dijkstra 一般的表述通常有两种方式，一种用永久和临时标号方式，一种是用OPEN, CLOSE表方式。

A* （A Star）算法：启发式（ heuristic ）算法

A* （A-Star)算法是一种静态路网中求解最短路最有效的方法。

公式表示为：        f(n)=g(n)+h(n), 
其中f(n) 是节点n从初始点到目标点的估价函数，
g(n) 是在状态空间中从初始节点到n节点的实际代价，
h(n)是从n到目标节点最佳路径的估计代价。

保证找到最短路径（最优解的）条件，关键在于估价函数h(n)的选取：
估价值h(n)<= n到目标节点的距离实际值，这种情况下，搜索的点数多，搜索范围大，效率低。但能得到最优解。
如果 估价值>实际值, 搜索的点数少，搜索范围小，效率高，但不能保证得到最优解。
估价值与实际值越接近，估价函数取得就越好。
例如对于几何路网来说，可以取两节点间欧几理德距离（直线距离）做为估价值，即f=g(n)+sqrt((dx-nx)*(dx-nx)+(dy-ny)*(dy-ny))；这样估价函数f在g值一定的情况下，会或多或少的受估价值h的制约，节点距目标点近，h值小，f值相对就小，能保证最短路的搜索向终点的方向进行。明显优于Dijstra算法的毫无无方向的向四周搜索。

上图是和上面Dijkstra算法使用同一个路网，相同的起点终点，用A*算法的情况，计算的点数从起始点逐渐向目标点方向扩展，计算的节点数量明显比Dijkstra少得多，效率很高，且能得到最优解。

A* 算法和Dijistra算法的区别在于有无估价值，Dijistra算法相当于A*算法中估价值为0的情况。

　 推荐文章链接：

Amit 斯坦福大学一个博士的游戏网站，上面有关于A*算法介绍和不少有价值的链接    http://theory.stanford.edu/~amitp/GameProgramming/

Sunway 写的两篇很好的介绍启发式和A*算法的中文文章并有A*源码下载：

初识A*算法 http://creativesoft.home.shangdu.net/AStart1.htm

深入A*算法 http://creativesoft.home.shangdu.net/AStart2.htm

需要注意的是Sunway上面文章“深入A*算法”中引用了一个A*的游戏程序进行讲解，并有这个源码的下载，不过它有一个不小的Bug, 就是新的子节点放入OPEN表中进行了排序，而当子节点在Open表和Closed表中时，重新计算估价值后，没有重新的对Open表中的节点排序，这个问题会导致计算有时得不到最优解，另外在路网权重悬殊很大时，搜索范围不但超过Dijkstra，甚至搜索全部路网, 使效率大大降低。 

Drew 对这个问题进行了如下修正，当子节点在Open表和Closed表中时，重新计算估价值后，删除OPEN表中的老的节点，将有新估价值的节点插入OPEN表中，重新排序，经测试效果良好，修改的代码如下，红色部分为Drew添加的代码.添加进程序的相应部分即可。

另一种A*（A Star）算法：

这种算法可以不直接用估价值，直接用Dijkstra算法程序实现A*算法，Drew对它进行了测试，达到和A*完全一样的计算效果，且非常简单。

以邻接矩阵为例，更改原来邻接矩阵i行j列元素Dij为 Dij+Djq-Diq; 起始点到目标点的方向i->j, 终点q. Dij为（i到j路段的权重或距离）

其中：Djq,Diq的作用相当于估价值 Djq=（j到q的直线距离）；Diq=（i到q的直线距离）
原理：i 到q方向符合Dij+Djq > Diq ，取Dij+Djq-Diq 小，如果是相反方向Dij+Djq-Diq会很大。因此达到向目标方向寻路的作用。

动态路网，最短路径算法 D*

A* 在静态路网中非常有效，但不适于在动态路网，环境如权重等不断变化的动态环境下。 D*是动态A*（D-Star,Dynamic A Star） 卡内及梅隆机器人中心的Stentz在1994和1995年两篇文章提出，主要用于机器人探路。是火星探测器采用的寻路算法。

主要方法

1. 先用 Dijstra 算法从目标节点 G 向起始节点搜索。储存路网中目标点到各个节点的最短路和该位置到目标点的实际值 h,k （ k 为所有变化 h 之中最小的值 , 当前为 k=h 。每个节点包含上一节点到目标点的最短路信息 1(2),2(5),5(4) ， 4 （ 7 ）。则 1 到 4 的最短路为 1-2-5 -4 。
原 OPEN 和 CLOSE 中节点信息保存。
2. 机器人沿最短路开始移动，在移动的下一节点没有变化时，无需计算，利用上一步 Dijstra 计算出的最短路信息从出发点向后追述即可，当在 Y 点探测到下一节点 X 状态发生改变，如堵塞。机器人首先调整自己在当前位置 Y 到目标点 G 的实际值 h(Y) ， h(Y)=X 到 Y 的新权值 c(X,Y)+X 的原实际值 h(X).X 为下一节点 ( 到目标点方向 Y->X->G ）， Y 是当前点。 k 值取 h 值变化前后的最小。
3. 用 A* 或其它算法计算，这里假设用 A* 算法 , 遍历 Y 的子节点，点放入 CLOSE, 调整 Y 的子节点 a 的 h 值， h(a)=h(Y)+Y 到子节点 a 的权重 C(Y,a), 比较 a 点是否存在于 OPEN 和 CLOSE 中，方法如下：