算法系列-最短路径Dijkstra算法

１  最短路径算法

在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。 算法具体的形式包括：

（１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。

（２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。

（３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。

（４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。

用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”， 有时被简称作“路径算法”。 最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。

本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。

２  Dijkstra算法

2.1  Dijkstra算法

　　Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。

Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。　

2.2  Dijkstra算法思想

Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将 加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2.3  Dijkstra算法具体步骤　　

（1）初始时，S只包含源点，即S＝ ，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，U中顶点u距离为边上的权（若v与u有边 ）或 ）（若u不是v的出边邻接点）。

（2）从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

（3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u（u U）的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边 上的权。

（4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包含在S中。

2.4  Dijkstra算法举例说明

如下图，设A为源点，求A到其他各顶点（B、C、D、E、F）的最短路径。线上所标注为相邻线段之间的距离，即权值。（注：此图为随意所画，其相邻顶点间的距离与图中的目视长度不能一一对等）

 

图一：Dijkstra无向图

 

算法执行步骤如下表：【注：图片要是看不到请到“相册--日志相册”中，名为“Dijkstra算法过程”的图就是了】

 

/*
 * Graph.java
 */
class Vertex {
     public char label;
     public boolean isInTree;
     public Vertex(char label) {
         this.label = label;
         isInTree = false;
     }
}
//sPath[]用来存储父节点和距离。
class DistPare {
     public int parentVertex;
     public int distance;
     public DistPare(int parentVertex, int distance) {
         this.parentVertex = parentVertex;
         this.distance = distance;
     }
}
public class Graph {
     private final int MAX_VERTEX = 20;
     private final int INFINITY = 999999;
     private int nVerts;
     private int nTree;
     private int currentVertex;
     private int startToCurrent;
     private int adjMatrix[][];
     private Vertex vertexList[];
     private DistPare sPath[];

     public Graph() {
         adjMatrix = new int[MAX_VERTEX][MAX_VERTEX];
         vertexList = new Vertex[MAX_VERTEX];
         sPath = new DistPare[MAX_VERTEX];
         nVerts = 0;
         nTree = 0;
         for(int i=0; i<MAX_VERTEX; i++)
              for(int j=0; j<MAX_VERTEX; j++)
                   adjMatrix[i][j] = INFINITY;
     }
     public void addVertex(char label) {
         vertexList[nVerts++] = new Vertex(label);
     }
     //有向图
     public void addOneEdge(int start, int end, int weight) {
         adjMatrix[start][end] = weight ;
     }
     public void dijkstra() {
         int startTree = 0;
         vertexList[startTree].isInTree = true;
         nTree = 1;
         for(int j=0; j<nVerts; j++) {
              int tempDist = adjMatrix[startTree][j];
              sPath[j] = new DistPare(startTree, tempDist);
         }
         while(nTree<nVerts) {
              int indexMin = getMin();
              int minDist = sPath[indexMin].distance;
              if(minDist == INFINITY) {
                   System.out.println("有无法到达的顶点");
              }
              else {
                   currentVertex = indexMin;
                   startToCurrent = sPath[indexMin].distance;
              }
              vertexList[currentVertex].isInTree = true;
              nTree ++;
              adjust_sPath();
         }
         displaypaths();
     }

     private void displaypaths() {
         for(int j=0; j<nVerts; j++) {
              System.out.print(vertexList[j].label + "=");
              if(sPath[j].distance == INFINITY)
                   System.out.print("inf");
              else
                   System.out.print(sPath[j].distance);
              char parent = vertexList[sPath[j].parentVertex].label;
              System.out.print("(" + parent + ") ");
         }
         System.out.println(" ");
     }

     private void adjust_sPath() {
         int column = 1;
         while(column < nVerts) {
              if(vertexList[column].isInTree) {
                   column ++;
                   continue;
              }
              int currentToFringe = adjMatrix[currentVertex][column];
              int startToFringe = startToCurrent + currentToFringe;
              int sPathDist = sPath[column].distance;
              if(startToFringe<sPathDist) {
                   sPath[column].parentVertex = currentVertex;
                   sPath[column].distance = startToFringe;
              }
              column ++;
         }
     }

     private int getMin() {
         int minDist = INFINITY;
         int indexMin = 0;
         for(int j=0; j<nVerts; j++) {
              if(!vertexList[j].isInTree && sPath[j].distance<minDist) {
                   minDist = sPath[j].distance;
                   indexMin = j;
              }
         }
         return indexMin;
     }

}
/*
 * Dijkstra.java
 */
public class Dijkstra {
     public static void main(String[] args) {
         Graph theGraph = new Graph();
         theGraph.addVertex('A');//0
         theGraph.addVertex('B');//1
         theGraph.addVertex('C');//2
         theGraph.addVertex('D');//3
         theGraph.addVertex('E');//4

         theGraph.addOneEdge(0, 1, 50);//AB 50
         theGraph.addOneEdge(0, 3, 80);//AD 80
         theGraph.addOneEdge(1, 2, 60);//BC 60
         theGraph.addOneEdge(1, 3, 90);//BD 90
         theGraph.addOneEdge(2, 4, 40);//CE 40
         theGraph.addOneEdge(3, 2, 20);//DC 20
         theGraph.addOneEdge(3, 4, 70);//DE 70
         theGraph.addOneEdge(4, 1, 50);//EF 50

         System.out.println("Dijkstra: ");
         theGraph.dijkstra();
     }

}