你看得懂的海明码校验和纠错原理(一)

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     本书原始目录参见此文:http://winda.blog.51cto.com/55153/1063878

    5.3.6 海明纠错码

    海明码(Hamming Code)是一个可以有多个校验位,具有检测并纠正一位错误代码的纠错码,所以它也仅用于信道特性比较好的环境中,如以太局域网中,因为如果信道特性不好的情况下,出现的错误通常不是一位。

    海明码的检错、纠错基本思想是将有效信息按某种规律分成若干组,每组安排一个校验位进行奇偶性测试,然后产生多位检测信息,并从中得出具体的出错位置,最后通过对错误位取反(也是原来是1就变成0,原来是0就变成1)来将其纠正。

    要采用海明码纠错,需要按以下步骤来进行:计算校验位数确定校验码位置确定校验码实现校验和纠错。下面来具体介绍这几个步骤。本文先介绍除最后一个步骤的其它几个步骤。

1.    计算校验位数

    要使用海明码纠错,首先就要确定发送的数据所需要要的校验码(也就是海明码)位数(也称校验码长度)。它是这样的规定的:假设用N表示添加了校验码位后整个信息的二进制位数,用K代表其中有效信息位数,r表示添加的校验码位,它们之间的关系应满足:N=Kr≤2r1

    如K=5,则要求2r-r≥5+1=6,根据计算可以得知r的最小值为4,也就是要校验5位信息码,则要插入4位校验码。如果信息码是8位,则要求2r-r≥8+1=9,根据计算可以得知r的最小值也为4。根据经验总结,得出信息码和校验码位数之间的关系如表5-1所示。

5-1   信息码位数与校验码位数之间的关系

信息码位数

1

2~4

5~11

12~26

27~57

58~120

121~247

校验码位数

2

3

4

5

6

7

8

2.确定校验码位置

    上一步我们确定了对应信息中要插入的校验码位数,但这还不够,因为这些校验码不是直接附加在信息码的前面、后面或中间的,而是分开插入到不同的位置。但不用担心,校验码的位置很容易确定的,那就是校验码必须是在2n次方位置,如第12481632……位(对应202122232425,……,是从最左边的位数起的),这样一来就知道了信息码的分布位置,也就是非2n次方位置,如第3567910111213……位(是从最左边的位数起的)。

    举一个例子,假设现有一个8位信息码,即b1b2b3b4b5b6b7b8,由表5-1得知,它需要插入4位校验码,即p1p2p3p4,也就是整个经过编码后的数据码(称之为“码字”)共有12位。根据以上介绍的校验码位置分布规则可以得出,这12位编码后的数据就是p1p2b1p3b2b3b4p4b5b6b7b8

    现假设原来的8位信息码为10011101,因现在还没有求出各位校验码值,现在这些校验码位都用“?”表示,最终的码字为:??10011101

3.    确定校验码

经过前面的两步,我们已经确定了所需的校验码位数和这些校验码的插入位置,但这还不够,还得确定各个校验码值。这些校验码的值不是随意的,每个校验位的值代表了代码字中部分数据位的奇偶性(最终要根据是采用奇校验,还是偶校验来确定),其所在位置决定了要校验的比特位序列。总的原则是:第i位校验码从当前位开始,每次连续校验i(这里是数值i,不是第i位,下同)位后再跳过i位,然后再连续校验i位,再跳过i位,以此类推。最后根据所采用的是奇校验,还是偶校验即可得出第i位校验码的值。

    1)计算方法

    校验码的具体计算方法如下:

    p1(第1个校验位,也是整个码字的第1位)的校验规则是:从当前位数起,校验1位,然后跳过1位,再校验1位,再跳过1位,……。这样就可得出p1校验码位可以校验的码字位包括:第1位(也就是p1本身)、第3位、第5位、第7位、第9位、第11位、第13位、第15位,……。然后根据所采用的是奇校验,还是偶校验,最终可以确定该校验位的值。

    p2(第2个校验位,也是整个码字的第2位)的校验规则是:从当前位数起,连续校验2位,然后跳过2位,再连续校验2位,再跳过2位,……。这样就可得出p2校验码位可以校验的码字位包括:第2位(也就是p2本身)、第3位,第6位、第7位,第10位、第11位,第14位、第15位,……。同样根据所采用的是奇校验,还是偶校验,最终可以确定该校验位的值。

    p3(第3个校验位,也是整个码字的第4位)的校验规则是:从当前位数起,连续校验4位,然后跳过4位,再连续校验4位,再跳过4位,……。这样就可得出p4校验码位可以校验的码字位包括:第4位(也就是p4本身)、第5位、第6位、第7位,第12位、第13位、第14位、第15位,第20位、第21位、第22位、第23位,……。同样根据所采用的是奇校验,还是偶校验,最终可以确定该校验位的值。

    p4(第4个校验位,也是整个码字的第8位)的校验规则是:从当前位数起,连续校验8位,然后跳过8位,再连续校验8位,再跳过8位,……。这样就可得出p4校验码位可以校验的码字位包括:第8位(也就是p4本身)、第9位、第10位、第11位、第12位、第13位、第14位、第15位,第24位、第25位、第26位、第27位、第28位、第29位、第30位、第31位,……。同样根据所采用的是奇校验,还是偶校验,最终可以确定该校验位的值。

……

    我们把以上这些校验码所校验的位分成对应的组,它们在接收端的校验结果(通过对各校验位进行逻辑异或运算得出)对应表示为G1G2G3G4……,正常情况下均为0

    2)校验码计算示例

    同样举上面的例子来说明,码字为??10011101

    先求第1(也就是p1,第1位)的值,因为整个码字长度为12(包括信息码长和校验码长),所以可以得出本示例中p1校验码校验的位数是13579116位。这6位中除了第1位(也就是p1位)不能确定外,其余5位的值都是已知的,分别为:10110。现假设采用的是偶校验(也就是要求整个被校验的位中的“1”的个数为偶数),从已知的5位码值可知,已有3“1”,所以此时p1位校验码的值必须为“1”,得出p1=1

    再求第2(也就是p2,第2位)的值,根据以上规则可以很快得出本示例中p2校验码校验的位数是23671011,也是一共6位。这6位中除了第2位(也就是p2位)不能确定外,其余5位的值都是已知的,分别为:10110。现假设采用的是偶校验,从已知的5位码值可知,也已有3“1”,所以此时p2位校验码的值必须为“1”,得出p2=1

   再求第3(也就是p3,第4位)的值,根据以上规则可以很快得出本示例中p3校验码校验的位数是456712,一共5位。这5位中除了第4位(也就是p3位)不能确定外,其余4位的值都是已知的,分别为:0011。现假设采用的是偶校验,从已知的4位码值可知,也已有2“1”,所以此时p2位校验码的值必须为“0”,得出p3=0

   最后求第4(也就是p4,第8位)的值,根据以上规则可以很快得出本示例中p4校验码校验的位数是89101112(本来是可以连续校验8位的,但本示例的码字后面的长度没有这么多位,所以只校验到第12位止),也是一共5位。这5位中除了第8位(也就是p4位)不能确定外,其余4位的值都是已知的,分别为:1101。现假设采用的是偶校验,从已知的4位码值可知,已有3“1”,所以此时p2位校验码的值必须为“1”,得出p4=1

    最后就可以得出整个码字的各个二进制值码字为:111000111101(带阴影的4位就是校验码)。

               <未完待续>

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