动态规划-矩阵链乘

问题描述

给定n个矩阵构成的一个链给定｛A1,A2,…,An｝,其中i=1，2，...,n.矩阵Ai的维数为pi-1*pi，如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。 

最优子结构

对乘积A1A2...An的任意加括号方法都会将序列在某个地方分成两部分，也就是最后一次乘法计算的地方，我们将这个位置记为k，也就是说首先计算A1...Ak和Ak+1...An，然后再将这两部分的结果相乘。

最优子结构如下：假设A1A2...An的一个最优加括号把乘积在Ak和Ak+1间分开，则前缀子链A1...Ak的加括号方式必定为A1...Ak的一个最优加括号，后缀子链同理。

一开始并不知道k的确切位置，需要遍历所有位置以保证找到合适的k来分割乘积。

状态转移方程

代码实现

#include<iostream> using namespace std; //p为矩阵链，p[0],p[1]代表第一个矩阵，p[1],p[2]代表第二个矩阵，length为p的长度 //所以如果有六个矩阵，length=7，m为存储最优结果的二维矩阵，t为存储选择最优结果路线的 //二维矩阵 void MatrixChainOrder(int *p,int (*m)[10],int (*t)[10],int length) { 	int n=length-1; 	int i,j,k,q,num=0; 	//A[i][i]只有一个矩阵，所以相乘次数为0，即m[i][i]=0; 	for(i=1;i<length;i++) 	{ 		m[i][i]=0; 	} 	//i代表矩阵链的长度，i=2表示有两个矩阵相乘时如何划分 	for(i=2;i<=n;i++) 	{ 		//j表示从第j个矩阵开始的i个矩阵如何划分是最优 		for(j=1;j<=n-i+1;j++) 		{ 			//k为从第j个数i个矩阵就是k，从j到k表示他们之间的i个矩阵如何划分 			k=j+i-1; 			//m[j][k]存储了从j到k使用最佳划分所得到的最优结果 			m[j][k]=0x7fffffff; 			//q为介于j到k-1之间的数，目的是利用q对j到k之间的矩阵进行试探性的划分， 			//从而找到最优划分，这是一种遍历性的试探。 			for(q=j;q<=k-1;q++) 			{ 				num=m[j][q]+m[q+1][k]+p[j-1]*p[q]*p[k]; 				if(num<m[j][k]) 				{ 					m[j][k]=num; 					t[j][k]=q; 				} 			} 		} 	} } void PrintAnswer(int(*t)[10],int i,int j) { 	if(i==j) 	{ 		cout<<"A"<<i; 	} 	else 	{ 		cout<<"("; 		PrintAnswer(t,i,t[i][j]); 		PrintAnswer(t,t[i][j]+1,j); 		cout<<")"; 	}  } int main() { 	int p[7]={30,35,15,5,10,20,25}; 	int m[10][10],t[10][10]; 	MatrixChainOrder(p,m,t,7); 	MatrixChainOrder(p,m,t,7); 	PrintAnswer(t,1,6); 	cout<<endl; 	return 0; } 

运行结果：

参考：算法导论十五章--矩阵链乘法-http://blog.csdn.net/liuzhanchen1987/article/details/7835053