【坐在马桶上看算法】算法7：Dijkstra最短路算法
将所有的顶点分为两部分：已知最短路程的顶点集合P和未知最短路径的顶点集合Q。最开始，已知最短路径的顶点集合P中只有源点一个顶点。我们这里用一个book[ i ]数组来记录哪些点在集合P中。例如对于某个顶点i，如果book[ i ]为1则表示这个顶点在集合P中，如果book[ i ]为0则表示这个顶点在集合Q中。
设置源点s到自己的最短路径为0即dis=0。若存在源点有能直接到达的顶点i，则把dis[ i ]设为e[s][ i ]。同时把所有其它（源点不能直接到达的）顶点的最短路径为设为∞。
在集合Q的所有顶点中选择一个离源点s最近的顶点u（即dis[u]最小）加入到集合P。并考察所有以点u为起点的边，对每一条边进行松弛操作。例如存在一条从u到v的边，那么可以通过将边u->v添加到尾部来拓展一条从s到v的路径，这条路径的长度是dis[u]+e[u][v]。如果这个值比目前已知的dis[v]的值要小，我们可以用新值来替代当前dis[v]中的值。
重复第3步，如果集合Q为空，算法结束。最终dis数组中的值就是源点到所有顶点的最短路径。
完整的Dijkstra算法代码如下：
#include <stdio.h>
int main()
{
int e[10][10],dis[10],book[10],i,j,n,m,t1,t2,t3,u,v,min;
int inf=99999999; //用inf(infinity的缩写)存储一个我们认为的正无穷值
//读入n和m，n表示顶点个数，m表示边的条数
scanf("%d %d",&n,&m);
//初始化
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
if(i==j) e[i][j]=0;
else e[i][j]=inf;
//读入边
for(i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d %d %d",&t1,&t2,&t3);
e[t1][t2]=t3;
}
//初始化dis数组，这里是1号顶点到其余各个顶点的初始路程
for(i=1;i<=n;i++)
dis[i]=e[1][i];
//book数组初始化
for(i=1;i<=n;i++)
book[i]=0;
book[1]=1;
//Dijkstra算法核心语句
for(i=1;i<=n-1;i++)
{
//找到离1号顶点最近的顶点
min=inf;
for(j=1;j<=n;j++)
{
if(book[j]==0 && dis[j]<min)
{
min=dis[j];
u=j;
}
}
book[u]=1;
for(v=1;v<=n;v++)
{
if(e[u][v]<inf)
{
if(dis[v]>dis[u]+e[u][v])
dis[v]=dis[u]+e[u][v];
}
}
}
//输出最终的结果
for(i=1;i<=n;i++)
printf("%d ",dis[i]);
getchar();
getchar();
return 0;
}
6 9 1 2 1 1 3 12 2 3 9 2 4 3 3 5 5 4 3 4 4 5 13 4 6 15 5 6 4
0 1 8 4 13 17
通过上面的代码我们可以看出，这个算法的时间复杂度是O(N2)。其中每次找到离1号顶点最近的顶点的时间复杂度是O(N)，这里我们可以用“堆”（以后再说）来优化，使得这一部分的时间复杂度降低到O(logN)。另外对于边数M少于N2的稀疏图来说（我们把M远小于N2的图称为稀疏图，而M相对较大的图称为稠密图），我们可以用邻接表（这是个神马东西？不要着急，下周再仔细讲解）来代替邻接矩阵，使得整个时间复杂度优化到O( (M+N)logN )。请注意！在最坏的情况下M就是N2，这样的话MlogN要比N2还要大。但是大多数情况下并不会有那么多边，因此(M+N)logN要比N2小很多。
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【啊哈！算法】系列7：Dijkstra最短路算法
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