Dijkstra算法原理及其优化

一、算法简介

        迪杰斯特拉算法是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有向图中最短路径问题。

二、算法描述

1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤：

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

执行动画过程如下图

三.算法实例

先给出一个无向图

用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下

四、算法优化

        该算法复杂度为n^2,我们可以发现，如果边数远小于n^2,对此可以考虑用堆这种数据结构进行优化，取出最短路径的复杂度降为O(1)；每次调整的复杂度降为O（elogn）；e为该点的边数，所以复杂度降为O((m+n)logn)。

实现

1. 将与源点相连的点加入堆，并调整堆。

2. 选出堆顶元素u（即代价最小的元素），从堆中删除，并对堆进行调整。

3. 处理与u相邻的，未被访问过的，满足三角不等式的顶点

    1):若该点在堆里，更新距离，并调整该元素在堆中的位置。

    2):若该点不在堆里，加入堆，更新堆。

4. 若取到的u为终点，结束算法；否则重复步骤2、3。