求解最大矩形面积 — leetcode 221. Maximal Square

本来也想像园友一样，写一篇总结告别 2015，或者说告别即将过去的羊年，但是过去一年发生的事情，实在是出乎平常人的想象，也不具有代表性，于是计划在今年 6 月份写一篇 "半年总结"，希望不会忘记。羊年，还是以一道有意思的算法题来告别吧！

Maximal Square，又是一道有意思的题。给出一个二维数组，数组中的元素是 1 或者 0，求解最大的由 1 组成的正方形面积。

比如这样一个二维数组：

1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 1 1 1
1 0 0 1 0

很显然最大的正方形面积为 2*2=4。

根据经验，一眼便看出这是一道 动态规划 题。我们用 dp[i][j] 表示以 matrix[i][j] 为右下角的最大全 1 正方形的边长，仔细思考，如何推得 dp[i][j] 的递推公式？

dp[i][j] 可以从三部分推得，首先是 dp[i-1][j-1]，然后是 matrix[i][j] 左边的连续 1 的个数，然后是 matrix[i][j] 上面连续 1 的个数，这三部分取最小值。于是我们可以维护三个数组，dp[i][j] 表示以 matrix[i][j] 为右下角的全 1 正方形的边长，a[i][j] 表示从 matrix[i][j] 往左的连续 1 的个数，b[i][j] 表示从 matrix[i][j] 往上的连续 1 的个数。

可以推得（注意边界值）：

if (matrix[i][j] === '1') {
  dp[i][j] = Math.min(i && j ? dp[i - 1][j - 1] : 0, j ? a[i][j - 1] : 0, i ? b[i - 1][j] : 0) + 1;
  a[i][j] = j ? a[i][j - 1] + 1 : 1;
  b[i][j] = i ? b[i - 1][j] + 1 : 1;

  ans = dp[i][j] > ans ? dp[i][j] : ans;
} else {
  dp[i][j] = a[i][j] = b[i][j] = 0;
}

需同时更新三个数组的值，完整代码可以参考 index_1.js。

当然这还不算完，继续优化。我们以 a 数组为例，其实 a 数组完全能用 dp 数组代替。

• 当 a[i][j-1] <= dp[i-1][j-1] 时，Math.min(dp[i-1][j-1], a[i][j-1]) 的结果就是 a[i][j-1]，也就是 dp[i][j-1]
• 当 a[i][j-1] > dp[i-1][j-1] 时，Math.min(dp[i-1][j-1], a[i][j-1]) 的结果就是 dp[i-1][j-1]

所以 Math.min(dp[i-1][j-1], a[i][j-1]) 的结果也就是 dp[i-1][j-1], dp[i][j-1])。数组 b 同理。

所以程序可以将转移方程优化为：

if (matrix[i][j] === '1') {
  dp[i][j] = Math.min(i && j ? dp[i - 1][j - 1] : 0, j ? dp[i][j - 1] : 0, i ? dp[i - 1][j] : 0) + 1;
  
  ans = dp[i][j] > ans ? dp[i][j] : ans;
} else {
  dp[i][j] = 0;
}

完整代码可以参考 index_2.js。

今天是除夕，最后祝大家在新的一年里身体健康，心想事成！！最重要的还是身体健康，身体健康，身体健康！！！重要的事情说三遍！！！