算法录 之 拓扑排序和欧拉路径。

1：

　　问题：

　　对于一个DAG（有向无环图），求点的排序，使得排在后面的点不能通过一条路径到前面的点。

　　如图，他的其中一个拓扑排序是 1,2,3,4,5，但是1,2,5,3,4不行，因为3能到5。

 

　　求解算法：

　　可以看出如果某个点有入边，也就是有其他的点能够到这个点，那么显然这个点不能被放在开头。所以就需要先找到一个入度为0的点放在开头，然后删掉这个点和这个点连接的所有的边，然后对剩下的图递归求解就OK了。

　　然后实现方法类似BFS，把所有入度为0的点加入队列，然后每次取出队首的点放入答案数组中，然后删掉所有从这个点出发的边后，把新产生的入度为0的点加入。

　　伪代码如下：

 1 vector <int> Rank() {
 2     Queue que;
 3     vector <int> ans;
 4 
 5     for(int i=1;i<=N;++i)
 6         if(degree(i)==0) que.push(i);
 7 
 8     while(!que.empty()) {
 9         int t=que.first();
10         que.pop();
11 
12         ans.push_back(t);
13         
14         for(所有从t出发的边e) {
15             --degree(e.to);        // 删除这条边并且让这条边到达的那个点的入度减一。
16             if(degree(e.to)==0) que.push(e.to);
17         }
18     }
19 
20     return ans;
21 }

　　复杂度的话，因为每个点最多遍历一次，每个点的每条边也是。

　　所以复杂度是 N+M （M是边数）。

 

2：

　　问题：

　　求一个无向图的一条欧拉路？也就是是否可以一笔画完？

 

　　先判断图是否存在欧拉路，不存在直接返回。根据欧拉的定理：如果一个无向图有三个或者三个以上的点的度数是奇数，就没有欧拉路。

　　先找到degree为奇数的一个点（不存在的话就任意点）作为开始点，进行DFS，每次走过一条边之后就删除这条边。然后当某个点无路可走的时候，把这个点加入答案数组。

　　最后答案数组反向就是答案。

 

　　伪代码如下：

 1 vector <int> ans;
 2 
 3 void dfs(int u) {
 4     if(u没有路可以继续下去) ans.push_back(u);
 5     else {
 6         for(e 是 u 出发的边) {
 7             delete e;
 8             dfs(e.to);
 9         }
10     }
11 }
12 
13 void getEuler() {
14     int start;
15     for(start=1;start<=N;++start)
16         if(degree(start)%2==1)
17             break;
18     if(start==N+1) start=1;
19 
20     dfs(start);
21     ans.reverse();        // ans反向。
22 }

 

　　例图如下：

 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　从1开始dfs，找到1-2的边，删除，dfs 点2　　　　　　然后找到边2-3，删除，dfs 点3

　　

　　　　然后找到边1-3，删除，dfs 点1。　　　　　　这时dfs 点1无路可走，把1加入ans。然后回溯到3，　　然后找到边4-5，删除，dfs 点5。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　找到边3-4，删除，dfs 点4。

　　然后找到边5-3，删除，dfs 点3　　　　　　　　然后3无路可走，加入ans，回溯到5，然后5无路可走，加入ans，回溯到4，然后4无路可走，加入ans，回溯到3，然后3无

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　路可走，加入ans，回溯到2，然后2无路可走，加入ans，回溯到1，然后1无路可走，加入ans。

 

　　这时ans数组是 1,3,5,4,3,2,1。

　　倒序的话就是一条欧拉路。

　　至于正确性的证明，严密的证明不会，但是如果一个点边很少的话一定要尽量往后被访问，不然进去就出不来了。所以这算是半个贪心策略，嗯。