ACM数论之旅1---素数（万事开头难（>_<））

前言：好多学ACM的人都在问我数论的知识（其实我本人分不清数学和数论有什么区别，反正以后有关数学的知识我都扔进数论分类里面好了）

于是我就准备写一个长篇集，把我知道的数论知识和ACM模板都发上来（而且一旦模板有更新，我就直接在博客上改了，所以记得常来看看（。・ω・））

 

 

废话说完了，直接进入正题ヾ(=^▽^=)ノ

 

 

 

素数，又叫质数，定义是除了1和它本身以外不再有其他的因数

我们通过这个定义，可以写如下程序判断一个数是不是质数

1 bool prime(int x){//判断x是不是质数，是返回true，不是返回false 
2     if(x <= 1) return false; 
3     for(int i = 2; i < x; i ++){
4         if(x % i == 0) return false;
5     }
6     return true;
7 }

 

这个程序的时间复杂度是O(n)，有没有更快的方法，当然

看这个

 1 bool prime(int x){//判断x是不是质数，是返回true，不是返回false 
 2     if(x <= 1) return false; 
 3     for(int i = 2; i <= sqrt(x + 0.5); i ++){//0.5是防止根号的精度误差 
 4         if(x % i == 0) return false;
 5     }
 6     return true;
 7 }
 8 //另一种方法，不需要根号 
 9 bool prime(int x){//判断x是不是质数，是返回true，不是返回false 
10     if(x <= 1) return false; 
11     for(int i = 2; i * i <= x; i ++){//用乘法避免根号的精度误差 
12         if(x % i == 0) return false;
13     }
14     return true;
15 }
16 //根据题目不同，如果i*i会爆int，记得开longlong 

 

这个复杂度是O(√n),速度快多了（＃°Д°）

 

 

 

 

 

 

 

 

根据题目不同，有可能你需要先预处理出1~N这N个数是否是素数

如果用刚刚的方法，复杂度就是O(n√n)

 1 #include<cstdio>
 2 const int N = 100000 + 5;
 3 bool prime[N];
 4 bool is_prime(int x){
 5     if(x <= 1) return false; 
 6     for(int i = 2; i * i <= x; i ++){
 7         if(x % i == 0) return false;
 8     }
 9     return true;
10 }
11 void init(){
12     for(int i = 0; i < N; i ++){
13         prime[i] = is_prime(i);
14     }
15 }
16 int main(){
17     init();
18 }

 

 

如果n大一点，就太慢了(｡･ω･)ﾉﾞ

 

介绍一种新方法，埃筛

 

埃筛--------------埃拉托斯特尼筛法，或者叫埃氏筛法

 

原理：如果找到一个质数，那么这个质数的倍数都不是质数

 

比如2是质数，那么4,6,8,10,12...都不是质数

然后看3是质数，那么6,9,12,15,18,21...都不是质数

然后看4，4已经被2标记为合数了，所以跳过

然后看5......这样一直筛下去

 1 #include<cstdio>
 2 const int N = 100000 + 5;
 3 bool prime[N];
 4 void init(){
 5     for(int i = 2; i < N; i ++) prime[i] = true;//先全部初始化为质数 
 6     for(int i = 2; i < N; i ++){
 7         if(prime[i]){//如果i是质数 
 8             for(int j = 2*i; j < N; j += i){//从i的两倍开始的所有倍数 
 9                 prime[j] = false; 
10             }
11         }
12     }
13 }
14 int main(){
15     init();
16 }

 

因为一些数字，比如6既被2的for循环经过又被3的for循环经过，所以复杂度不是O(n)

这个复杂度经过专业人士检验，复杂度O(nloglogn)（学过高数的小朋友可以自己证明≖‿≖✧当然也可以去百度）

 

 

 

 

 

 

好戏都是要留到最后的≖‿≖✧确实还有O(n)的做法

这个算法名字叫线筛

 

 1 #include<cstdio>
 2 const int N = 100000 + 5;
 3 bool prime[N];//prime[i]表示i是不是质数 
 4 int p[N], tot;//p[N]用来存质数 
 5 void init(){
 6     for(int i = 2; i < N; i ++) prime[i] = true;//初始化为质数 
 7     for(int i = 2; i < N; i++){
 8         if(prime[i]) p[tot ++] = i;//把质数存起来 
 9         for(int j = 0; j < tot && i * p[j] < N; j++){
10             prime[i * p[j]] = false;
11             if(i % p[j] == 0) break;//保证每个合数被它最小的质因数筛去 
12         }
13     }    
14 }
15 int main(){
16     init();
17 }

 

 

这个方法可以保证每个合数都被它最小的质因数筛去

所以一个数只会经过一次

时间复杂度为O(n)

 

其实loglogn非常小，把埃筛看成线性也无妨，毕竟它比线筛好写

 

 

 

 

 

 

世界之大无奇不有(。-`ω´-)数论是个可怕的东西