EM算法

简介：本文主要介绍以下两个方面内容：

1. 混合高斯(Mixtures of Gaussians)和EM算法
2. EM算法相关推导证明

混合高斯和EM算法

关于混合高斯可以看  漫谈 Clustering (3): Gaussian Mixture Model 和  混合高斯模型（Mixtures of Gaussians）和EM算法。观察样本数据X满足公式一概率密度函数：

公式1

其中 表示第i个Gaussian选中的概率，满足 ，数据满足第i个Guassian分布的概率为 ，那么公式一中未知参数为

采用 极大似然估计法 maximum-likelihood estimation  ( MLE )求参数，似然函数如公式2所示：

公式2

• 公式2对求导并令其等于0可得：

设一个 后验概率(Posterior probability )如公式3所示：

公式3

可以得出 的表达式如公式4所示：

公式4

• 用拉格朗日乘数法Lagrange multiplier求对。构造拉格朗日乘子如下：

求导可得

易知 ，那么最终可以得到 如公式5所示：

公式5

• 计算。这里用到单高斯分布极大似然估计的相关结论(详见Pattern Recognition and Machine Learning 练习2.34)。对于单高斯分布，有如公式6所示结论:

公式6

其中 。那么公式2对 求导并令其等于0可得：

最终整理可以得到 的表达式如公式7所示：

公式7

我们得到问题相关参数的表达式如公式4、公式5、公式7所示，但是无法根据样本数据直接获得，因为在计算后验概率  无法直接计算。EM算法给出这类问题的解决方法，即先初始化一组参数 ，在E-Step计算后验概率 ，在M步骤更新参数 . 如算法一所示：

算法1:EM算法求解混合高斯

• Initialize:  
  ， ，
  
  
• E-Step:   
  
  
  
  
  
  
  
• M-Step:
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

这部分主要是利用混合高斯引出EM算法，下部分内容详细讲解EM算法推导及相关证明。

EM算法

EM算法是用极大似然估计法求解存在隐含变量(如混合高斯中的 )问题时的一种有效的方法。下面假定观察样本为X，隐含变量为H，联合概率密度 由参数 决定：

我们的目标就是极大化公式8来求参数 :

公式8

直接求解公式8有难度，通常如果隐含变量H知道，那么公式8的求解将会容易一些。

EM算法对此类问题提供了一个有效的解决方法： 重复构造的一个下界(E-Step)，优化(提高)这个下界(M-Step)。如果构造和优化下界的任务比较容易，那么我们就间接的极大化公式8求得参数 。

对于每一个i，我们定义隐含变量满足某种分布的概率 (即满足 和 )，那么我们可以得到公式9：

公式9

这里公式9最后一步用到了 Jensen不等式，如过f是一个凹函数(如开口向下的抛物线)，X是随机变量，有如下结论：

等式成立的条件是X=E[X]即X是常量。易知lnx是一个凹函数，那么最后一步推导如下:

给定一组隐含变量的分布 ，公式9给出了 的一个下界。对于给定一组参数 等号成立的条件是 ，那么我们可以得到 如公式10所示：

公式10

即 定义为给定样本x和参数 时隐含变量h的后验概率。

给出这个下界后我们可以通过 来优化这个下界：

最终我们可以得到EM算法如算法2所示：

算法2：EM算法过程

• Initialize:  
  
  
  
  
• E-Step:   
  
  
  
• M-Step:
  
  

剩余的最后一个问题是如何证明EM算法会收敛，也就是证明 ，证明如公式11所示:

公式11

其中第一个不等式利用就是公式9结论，第二个不等式是第t+1次迭代式M-Step的过程，最后一个等号就是t次迭代完的结果。至此，关于EM算法的相关推导证明全部结束。

参考文献

1、 CS229 Mixtures of Gaussians and the EM algorithm

2、 CS229 The EM algorithm

3、Gaussian Mixture Model and EM(Expectation Maximization) Algorithm(清华大学PR课件)

4、 The Expectation-Maximization (EM) Algorithm

5、 Pattern Recognition and Machine Learning