【每日算法】快速幂

数值的整数次方

实现函数

double Power(double base, int n) 

求base的n次方，不得使用库函数，同时不需要考虑大数问题。

Tips

问题本身很直观，但是越简单的题越需要细心思考，包括边界问题和效率问题，如果不能考虑到以下3点，就无法给出令人满意的答案：

1. 考虑n为负数的情况；
2. 考虑base为0的情况；
3. 当n较大时，如何保证效率？

分析

针对上面3个问题，我们逐一解答：

1.在计算的时候，我们统一计算base的 abs(n)次方，最后如果是负数，答案应该取倒数；

2.如果base为0，则它不能做分母，此时若n<0，则我们应该返回错误信息。

关于返回错误信息，一般有以下方法：

• 通过返回值；
• 通过全局变量；
• 抛出异常；

在这里，我们注意到返回值本身可以取任意值，所以不能单纯靠返回值；如果仅设置全局变量，那么每次计算之后都有检查，比较麻烦；我们可以选择返回值+全局变量的形式来返回错误：

如果有错，返回0，且设置全局变量。

3.当n较大时，可使用快速幂：

若n为偶数， base^n = base^(n/2) * base^(n/2)；
若n为奇数， base^n = base * base^((n-1)/2) * base^((n-1)/2)；

解答

下面是Power函数：

bool error = false;
double Power(double base, int n)
{
    error = false;
    if (equal(base, 0.0) && n < 0)
    {
        error = true;
        return 0.0;
    }
    unsigned int absN = (unsigned int)n;
    if (n < 0)
        absN = (unsigned int)(-n);
    double result = PowerWithUnsignedN(base, absN);
    if (n < 0)
        result  = 1.0/result;
    return result;
}

Notice：对于小数，判断是否相等不能直接用 == ，而应该计算两者的差值在一个精度范围内：

bool equal(int num1, int num2)
{
    if ((num1-num2) > -0.0000001 && (num1-num2) < 0.0000001)
        return true;
    else
        return false;
}

下面是核心的快速幂的递归版本：

double PowerWithUnsignedN(double base, unsigned int n)
{
    if (0 == n) return 1;
    if (1 == n) return base;
    double res = PowerWithUnsignedN(base, n>>1);
    res *= res;
    if (n & 1) //n为奇数
        res *= base;
    return res;
}

一般情况下，以上代码已经很完美了~

不过如果你更加追求效率，想必递归版本并不能满足你，那么可以试一试下面的非递归版本：

double PowerWithUnsignedN(double base, unsigned int n)
{
    double res = 1.0;
    while (n > 0)
    {
        if (n & 1)
            res *= base;
        base *= base;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}

关于快速幂，我们常常用来做快速幂取模等，稍微复杂一点，我们可以用它来做矩阵的快速幂，原理是一样的，只是操作的对象是一个矩阵而不是一个数（矩阵快速幂以求斐波那契数列较为著名，此处暂不展开，后面会开专题写斐波那契数列，有兴趣的读者可以先自行查找相关资料）。

每天进步一点点，Come on！
(●’◡’●)

本人水平有限，如文章内容有错漏之处，敬请各位读者指出，谢谢！