3D图形：坐标变换

引言

             在3D图形学中，经常需要进行坐标变换的操作。所以，作为学习者，很有必要将坐标变换的原理掌握。在3D渲染流水线中，有很多的变换，基本上都是从一个坐标空间变换到另外一个坐标空间的。既然坐标变换在3D中用的如此的多，那么就应该详细的了解坐标变换的原理。这有助于我们理解3D流水线中的各种变换过程。

坐标变换

             在DirectX 9.0读书笔记(1)向量一文中，详细的讲述了如何将A坐标系里面的坐标点变换到B坐标系中去。这里直接使用文章的结论，即：如果我们在A坐标系中有一个向量或者点，那么如何用在B坐标系中表示这个向量或者点了？对于向量来说，假设在A坐标系中表示的向量为Q(x,y,z)，而A坐标系的三个基坐标在B坐标系中分别为U(ux,uy,uz), V(vx,vy,vz)和W(wx,wy,wz),那么我们就可以用如下的公式得出Q向量在B坐标系里面的坐标为：Qb = x * U + y * V + z * W ; 由于向量可以平移，而点不可以平移，所以对于A空间中的点Q(x,y,z)，我们的公式变成如下的：Qb = x * U + y * V + z * W + O，这里的O是A坐标系的原点在B坐标系中的坐标表示。

              好了，通过上面的公式，我们就自然的知道了如何进行坐标变换了吧。

坐标变换的矩阵表示

               我们知道，在3D流水线中，大多数时候，都是使用矩阵来进行坐标变换。所以，我们很有必要知道，如何通过上面的结论来构造一个矩阵，从而将坐标变换到我们想要的空间中去。

              在讲述矩阵的坐标变换表示之前，我们先来看下：向量和矩阵的乘法运算。

              注意，这里使用的行向量，所以向量和矩阵的乘法运算，只能是(向量 * 矩阵)，而不是(矩阵 * 向量)。不同的表示方法，对于构造出来的矩阵也是不同的，大家需要自己区分。

              向量Q(x,y,z)和一个3*3的矩阵M = ,其结果为Q * M = x * U + y * V + z * W .

             看到这个结果你是否想到了什么？没错，对于向量空间变换，我们只要将对应的坐标基的表示如上面例子中的U,V,W，按照矩阵M的表示方法表示起来就可以了。然后使用向量乘以这个矩阵，就能够得到变换后的坐标了。

             但是，我们还要考虑一点，上面的公式中，似乎只能对向量进行变换，如果是点的话，就没有办法了。所以，很自然的，我们想到要使用齐次坐标来表示。齐次坐标，与普通的3D坐标相比，多了一个分量。即Q(x,y,z ,w)。这里的w取值为0的时候，表示这个Q表示的是一个向量，如何w为1，表示的就是Q表示一个点。那么，矩阵也要做相应的改变哦。

            对于上图中的矩阵，只要将它变成4*4的齐次矩阵就可以了。熟悉D3D的同学，应该知道我说的是下面这样的矩阵：

          好了，这样就大功告成了。我们的坐标变换的矩阵表示方法就是这样的了。