由正交矩阵构建的仿射变换矩阵求逆的快速算法

作者：i_dovelemon
来源：CSDN
日期：2015/5/18
主题：仿射变换，正交矩阵，求逆，矩阵乘法

引言

好久没有写博客了，这段时间一直忙着，今天抽空写下实习的时候遇到的问题，同时继续更新自己的博客。
今天想要说的是自己一直以来对3D变换的一些疑惑之处。主要体现在什么是仿射变换？什么是正交矩阵？如何快速的求出正交矩阵的逆矩阵？以及进行矩阵乘法的顺序问题。

齐次坐标

我们都知道，在3D图形学中，所有的变换都可以划分为三种最基础的变换方式，分别为：

旋转变换

缩放变换

平移变换

通过对这三种变换进行组合，就能够实现任意的变换形式。

在3D坐标下，如果向量使用3D向量表示的话，对于这三种变换的处理方式如下：

旋转变换：乘法运算

缩放变换：乘法运算

平移变换：加法运算

也就是说，这三种变换的处理方式是不同的，旋转和缩放变换能够通过乘法实现，而平移需要通过加法来实现。
所以图形学的大师们，觉得这样的计算方法十分的繁琐，他们希望能够使用一种统一的方式来对坐标进行变换。所以他们决定，将平移变换也使用乘法来统一这种计算方法。
所以，就提出了齐次坐标的概念。
齐次坐标，即使用N+1维的空间向量来表示N维的向量。通过这样的方法就能够使用乘法对平移变换也进行计算。
而平移变换对向量是没有用处的，只有对点才有用。所以就出现了齐次坐标（x,y,z,w），其中当w等于1的时候，表示的是点向量，0的时候，表示的就是普通向量。

仿射变换

在明白了齐次坐标之后，我们来看看什么是仿射变换。
从学习3D以来，就经常听到说3D图形学里面的变换都是仿射变换。以前也查过这个概念，但是过不了多久就忘记了。主要就是因为没有深刻的理解到这个概念的意义，所以就很容易遗忘掉它。直到今天遇到了问题，才深刻的理解仿射变换时什么样的变换。
仿射变换的定义如下：先进行线性变换，在进行平移变换的变换称之为仿射变换。注意这个定义里面，具有先后关系，我就是忽略了这个先后关系才对很多变换，搞的迷迷糊糊的。
在3D中，所谓的线性变换，指的就是旋转变换和缩放变换这两种。也就是说，我们在3D游戏开发中，使用的矩阵变换，实际上是一种仿射变换，它会先对向量进行旋转和缩放（这两种变换的先后顺序，无关紧要），然后在对向量进行平移操作。
这就是仿射变换的定义。一定要牢记，仿射变换时具有先后关系的两种变换的联合。

正交矩阵

在学校学习线性代数的时候，那时候还是很清楚什么是正交矩阵。但是抛去了课本，就忘记了什么是正交矩阵。依稀只记得好像是任意两个行向量相乘的结果为0，也就是相互垂直的关系。今天也一直以这个定义来推导正交矩阵求逆运算的简化步骤，发现总是得不出正确的结果。所以，就重新学习了下什么是正交矩阵。
正交矩阵的定义：

a.矩阵中的任意两个行向量的乘积为0

b.矩阵中每一个行向量都是单位向量

没有经过缩放的旋转矩阵就是一个正交矩阵。

3D图形中求逆的几何意义

数学上对矩阵的求逆运算，在学习线性代数的时候，一直就不知道为毛搞这么一个东东。（这也体现了中国填鸭式教育，先交给你是这么做，至于为什么这么做，以后才知道）直到自己学习游戏开发，特别是进行3D变换的时候，才明白了。
在3D中，变换都是通过矩阵来实现的。比如一个矩阵的功能是先让某个向量旋转A角度，在平移B距离。那么这个矩阵的逆矩阵的效果就应该是先让向量平移-B距离，然后在旋转-A角度。也就是说，矩阵和它的逆矩阵对向量进行的变换效果是相反的过程。

矩阵乘法

在学习3D游戏编程的过程中，经常会遇到一个问题，在解决某种变换的时候，网上给出这个变换的矩阵总是有两种不同的格式，他们互为转置。我以前一直不明白怎么回事。直到自己在学习OpenGL(先学DirectX)之后，才明白原来是两个标准3D API对于向量的定义方式不同导致的。
当我们讲解某个变换的时候，作者大多使用自己熟悉的方式来进行讲解。熟悉DirectX的人，会使用行向量的方式对矩阵进行描述，熟悉OpenGL的人，会使用列向量的方式对矩阵进行描述。所以就会导致出现两个相互为转置的矩阵出现。
比如说，在DX中，一个向量实际上是这样的：[x,y,z,w]
它在进行矩阵乘法的时候，是这样的：[x,y,z,w] * M (右乘矩阵的方式)

而对于OpenGL来说，它的向量表示是这样的：

[x,
y,
z,
w]

它在进行矩阵乘法的时候，是这样的：
M * transpose[x,y,z,w] (左乘矩阵的方式)

所以，这就导致了理解上的偏差。初学者最好弄明白这些基础的概念。

正交矩阵求逆

前面讲了一大堆，就是为了得出怎么样快速的求出一个正交矩阵的逆矩阵出来。

这里统一使用OpenGL的矩阵表示方法。
假如有一个矩阵：
[m00 m01 m02 m03]
[m10 m11 m12 m13]
[m20 m21 m22 m23]
[0 0 0 1]

在3D中这个矩阵有两个不同的部分构成，

一个是：
[m00 m01 m02]
[m10 m11 m12]
[m20 m21 m22]
的旋转矩阵R（由于是正交矩阵，这里就只能是未进行缩放的单位向量的正交旋转矩阵）

另外一个就是：
[1 0 0 m03]
[0 1 0 m13]
[0 0 1 m23]
[0 0 0 1]
的平移矩阵
这两个部分构成。

也就是可以简化为如下的矩阵表示:

[R T] * V
[0 0 0 1]

前面说过，要想求一个矩阵的逆矩阵，就是构造一个具有相反效果的矩阵即可，那么上面的矩阵是一个仿射矩阵，它是先进行R旋转，然后在进行T平移操作，所以它的逆操作就应该是：
先平移-T，然后在旋转-R

所以得出下面的矩阵：
[Transpose_R] * [Transpose_T]
[0 0 0 1] [0 0 0 1]

由于R是正交矩阵，正交矩阵有一个特性：
正交矩阵的逆矩阵等于转置矩阵
所以就能够很直观的得出正交矩阵构成的仿射矩阵的逆矩阵了。

总结

在学习中，对自己模糊不清的知识点，要查缺补漏，做技术的要有严谨的态度。
（由于时间仓促，文章中的矩阵都以文字的格式写出，如有难以理解的地方，请在评论中指出！）