【LeetCode】169. Majority Element (多数投票算法 & 算法迁移能力)

Question1

Given an array of size n, find the majority element. The majority element is the element that appears more than ⌊ n/2 ⌋ times.

You may assume that the array is non-empty and the majority element always exist in the array.

Solution

思路1： 排序之后中间的数即为答案，O(nlogn)

思路2： 扫一遍数组，用map存放出现次数，找出次数大于size/2的数，O(n)

    int majorityElement(vector<int>& nums) {
        map<int, int> cnt;
        int n = nums.size()/2;
        for (auto num : nums)
            cnt[num]++;
        for (auto num : cnt)
            if (num.second > n)
                return num.first;
    }

思路3：看了discuss才发现一种神奇的算法->Boyer–Moore majority vote algorithm，也叫多数投票算法，时间O(n)，空间O(1)。

Wiki：https://en.wikipedia.org/wiki/Boyer%E2%80%93Moore_majority_vote_algorithm

Majority Vote Algorithm：http://www.cs.utexas.edu/users/moore/best-ideas/mjrty/index.html

算法的步骤：
如果count==0，则将vote的值设置为数组的当前元素，将count赋值为1；
否则，如果vote和现在数组元素值相同，则count++，反之count–；
重复上述两步，直到扫描完数组。
count赋值为0，再次从头扫描数组，如果数组元素值与vote的值相同则count++，直到扫描完数组为止。
如果此时count的值大于等于n/2，则返回vote的值，反之则返回-1；

以下是代码实现，由于题目保证结果一定存在，所以我们省去了最后一步的检查验证。

    int majorityElement(vector<int>& nums) {
        int cnt = 0;
        int vote;
        for (auto num:nums) {
            if (!cnt) vote = num;
            if (vote == num) cnt++;
            else cnt--;
        }
        return vote;
    }

Question2

229.Majority Element II

Given an integer array of size n, find all elements that appear more than ⌊ n/3 ⌋ times. The algorithm should run in linear time and in O(1) space.

题目指明了空间O(1)，明显是让我们用多数投票算法来做。

仔细分析下问题，可以知道最多只有2个答案。

我们需要做的是找出票数最高的前两名，然后验证下。

    vector<int> majorityElement(vector<int>& nums) {
        int cnt1 = 0;
        int cnt2 = 0;
        int vote1, vote2;
        bool two = true;
        for (auto num : nums) {
            if (!cnt1) {
                vote1 = num;
                cnt1++;
            }
            else if (cnt1 && num == vote1) {
                cnt1++;
            }
            else if (!cnt2) {
                vote2 = num;
                cnt2++;
            }
            else if (cnt2 && num == vote2) {
                cnt2++;
            }
            else {
                cnt1--;
                cnt2--;
            }
        }
        if (!cnt1 && !cnt2) return {};
        if (!cnt2) two = false;
        cnt1 = cnt2 = 0;
        for (auto num : nums) {
            if (num == vote1) cnt1++;
            else if (two && num == vote2) cnt2++;
        }
        vector<int> ans;
        if (cnt1 > nums.size()/3) ans.push_back(vote1);
        if (cnt2 > nums.size()/3) ans.push_back(vote2);
        return ans;
    }

Question3

给定一个流或者数组，一个在0与1之间的实数θ，能否找出其中出现频率超过θ的全部元素.

这里θ取0.5就是我们的question1。

相关论文：

《A Simple Algorithm for Finding Frequent Elements in Streams and Bags》

论文的结论：

这个问题可以在两次遍历这个流，在O(1/θ)的空间内解决。具体来说如下：

//设X[1...n]为输入，是一个int流 
//我们把出现频率超过1/theta的数字叫做高频数
map<int,int > K; //K中保存潜在的高频数 K[a] = b 表示遍历到当前时数字a还剩b个

//第一遍遍历这个流,找出潜在的高频数
for(int i = 1; i <= n; ++i){
    //先将X[i]加到K中
    if( K.find(X[i]) != K.end() )
        K[X[i]] ++;
    else 
        K[X[i]] = 1;

    //如果K中元素超过 1/theta, 则K中元素每个都被舍弃一次
    if(K.size() > 1/theta){
        for(auto it = m.begin(); it != m.end();){
            it->second --;
            if(it->second == 0)
                m.erase(it++);
            else
                it++;
        }
    }
}

// 此时所有高频数肯定在K里面，这时再遍历一遍确认一下即可

证明第一遍遍历后需要找的高频数字一定在K里面：

用反证法, 假设a是高频数, 但a最后不在K中。

由于遍历到a时，a一定被加入到K中了，因此唯一的可能性是它后来又被舍弃了。

注意到，我们在舍弃过程中，是遍历K中元素，每个都舍弃了一次(代码中it->second –)。由于此时K至少有1/θ个元素，因此我们至少舍弃了1/θ次。假设a在数组中出现了t次，则每次a被加入后最后都被舍弃，说明我们至少舍弃了t∗1/θ次，这个次数一定不能超过输入流元素的总数N。故
   t∗1/θ<=N 即 t/N<=θ，这与a是高频数的定义矛盾！