【算法设计与数据结构】欧几里得算法、拓展欧几里得算法

欧几里得算法求最大公约数

//递归版本
int gcd (int a, int b)
{
    if (b == 0)
        return a;
    else
        return gcd(b, a%b);
}

//非递归版本

//辗转相除法
while (m % n)
{
    int tmp = m;
    m = n;
    n = tmp % n;
}
return n;

//更相减损法
while (n != m)
{
    if (n > m)
        n = n - m;
    else 
        m = m - n;
}
return n;

算法正确性

1.gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
2.b > a mod b
1保证了转换的正确性；2保证了算法的终止。

算法复杂度

递归次数：O(n)
每次递归的计算量：O(n^2)
总复杂度：O(n^3)
**注意，在数论中，n一般表示的是数字的位数，而不是数字本身的值。

拓展欧几里得算法

拓展欧几里得定理：对于两个不全为0的整数a、b，必存在一组解x,y，使得ax+by==gcd(a,b)。

//通过拓展欧几里得算法求x,y以及gcd(a,b)的过程
int exgcd(int a, int b, int& x, int& y)
{
    int d, t;
    if (b == 0)
    {       
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    d = exgcd(b, a%b, x, y);
    t=x;
    x=y;
    y=t-(a/b)*y;
    return d;
}

算法分析

事实上，拓展欧几里得算法是在欧几里得算法的基础上加上求x，y而已，而其中是如何实现的呢？我们分析一下：

    if (b == 0)
    {       
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }

由扩展欧几里得定理：ax+by==gcd(a,b)，当求解到了最大公约数的时候，b==0，此时欧几里得算法求得gcd(a,0)==a。原式变为ax+by==a ，由于b=0，所以 x==1，y可以取任意值，一般取0。

 t = x; x = y; y = t-(a/b)*y;

一开始，式子为：a*x + b*y = d; ……（1）
当递归到下一层时，有：b*x1 + (a mod b)*y1 = d;
–>b*x1 + (a - (a/b)*b)*y1 = d;
–>a*y1 + b*(x1 - y1 * (a/b)) = d; ……（2）
通过对比（1）（2）式，可以得到以下对应关系：
x = y1;
y = x1 - y1 * (a/b);
**以上的除法为整型除法

对于一般的不定式ax+by==c，应如何求解？
先求解ax+by == gcd(a,b)
变换一下得：a*x*(c/gcd(a,b)) + b*y*(c/gcd(a,b)) = c;
则答案为：x=x*(c/gcd(a,b)), y=y*(c/gcd(a,b))

**拓展欧几里得算法的应用很广泛，接下来有空我会举一些例子~