[数论] Miller_Rabbin算法判断大素数，Pollard_rho算法进行质因素分解

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Miller-rabin

Miller-rabin算法是一个用来快速判断一个正整数是否为素数的算法。它利用了费马小定理，即：如果p是质数，且a，p互质，那么a^(p-1) mod p恒等于1。也就是对于所有小于p的正整数a来说都应该复合a^(p-1) mod p恒等于1。那么根据逆否命题，对于一个p，我们只要举出一个a（a<p）不符合这个恒等式，则可判定p不是素数。Miller-rabin算法就是多次用不同的a来尝试p是否为素数。

但是每次尝试过程中还做了一个优化操作，以提高用少量的a检测出p不是素数的概率。这个优化叫做二次探测。它是根据一个定理：如果p是一个素数，那么对于x(0<x<p)，若x^2 mod p 等于1，则x=1或p-1。逆否命题：如果对于x(0<x<p)，若x^2 mod p 不等于1，则p不是素数。根据这个定理，我们要计算a^(p-1) mod p是否等于1时，可以这样计算，设p-1=(2^t) * k。我们从a^k开始，不断将其平方直到得到a^(p-1)，一旦发现某次平方后mod p等于1了，那么说明符合了二次探测定理的逆否命题使用条件，立即检查x是否等于1或p-1，如果不是则可直接判定p为合数。

pollard-rho

这是一个用来快速对整数进行质因数分解的算法，需要与Miller-rabin共同使用。求n的质因子的基本过程是，先判断n是否为素数，如果不是则按照一个伪随机数生成过程来生成随机数序列，对于每个生成的随机数判断与n是否互质，如果互质则尝试下一个随机数。如果不互质则将其公因子记作p，递归求解p和n/p的因子。如果n是素数则直接返回n为其素因子。

至于这个随机数序列是如何生成的暂时还不能理解，而且也是有多种不同的方式。这个序列生成过程中会产生循环，遇到循环则立即退出。

Pollard rho算法的原理就是通过某种方法得到两个整数a和b，而待分解的大整数为n，计算p=gcd(a-b,n)，直到p不为1，或者a，b出现循环为止。然后再判断p是否为n，如果p=n成立，那么返回n是一个质数，否则返回p是n的一个因子，那么我们又可以递归的计算Pollard(p)和Pollard(n/p)，这样，我们就可以求出n的所有质因子。
    具体操作中，我们通常使用函数x2=x1*x1+c来计算逐步迭代计算a和b的值，实践中，通常取c为1，即b=a*a+1，在下一次计算中，将b的值赋给a，再次使用上式来计算新的b的值，当a，b出现循环时，即可退出进行判断。
    在实际计算中，a和b的值最终肯定一出现一个循环，而将这些值用光滑的曲线连接起来的话，可以近似的看成是一个ρ型的。
    对于Pollard rho，它可以在O(sqrt(p))的时间复杂度内找到n的一个小因子p，可见效率还是可以的，但是对于一个因子很少、因子值很大的大整数n来说，Pollard rho算法的效率仍然不是很好，那么，我们还得寻找更加的方法了。

Miller-rabin算法用到了二次探测，因为有些数称为Carmichael数，它满足费马小定理，但不是素数。

模板：POJ  1811

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#include <cmath>
#include <time.h>
#include <iomanip>
#include <cctype>
using namespace std;

/**
Miller_Rabin 算法进行素数测试
快速判断一个<2^63的数是不是素数,主要是根据费马小定理
*/
#define ll long long
const int S=8; ///随机化算法判定次数

///计算ret=(a*b)%c  a,b,c<2^63
ll mult_mod(ll a,ll b,ll c)
{
    a%=c;
    b%=c;
    ll ret=0;
    ll temp=a;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            ret+=temp;
            if(ret>c)
                ret-=c;//直接取模慢很多
        }
        temp<<=1;
        if(temp>c)
            temp-=c;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}

///计算ret=(a^n)%mod
ll pow_mod(ll a,ll n,ll mod)
{
    ll ret=1;
    ll temp=a%mod;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            ret=mult_mod(ret,temp,mod);
        temp=mult_mod(temp,temp,mod);
        n>>=1;
    }
    return ret;
}

///通过费马小定理 a^(n-1)=1(mod n)来判断n是否为素数
///中间使用了二次判断,令n-1=x*2^t
///是合数返回true，不一定是合数返回false
bool check(ll a,ll n,ll x,ll t)
{
    ll ret=pow_mod(a,x,n);
    ll last=ret;//记录上一次的x
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
        ret=mult_mod(ret,ret,n);
        if(ret==1&&last!=1&&last!=n-1)
            return true;//二次判断为是合数
        last=ret;
    }
    if(ret!=1)
        return true;//是合数,费马小定理
    return false;
}


///Miller_Rabbin算法
///是素数返回true(可能是伪素数)，否则返回false
bool Miller_Rabbin(ll n)
{
    if(n<2) return false;
    if(n==2) return true;
    if((n&1)==0) return false;//偶数
    ll x=n-1;
    ll t=0;
    while((x&1)==0)
    {
        x>>=1;
        t++;
    }
    srand(time(NULL));
    for(int i=0;i<S;i++)
    {
        ll a=rand()%(n-1)+1; // 生成随机数 0<a<=n-1  去试试
        if(check(a,n,x,t))
            return false;
    }
    return true;
}

/**
pollard_rho算法进行质因素分解
*/
ll factor[100];//质因素分解结果(一开始无序）
int tot;//质因素的个数 0~to-1
ll gcd(ll a,ll b)
{
    ll t;
    while(b)
    {
        t=a;
        a=b;
        b=t%b;
    }
    if(a>=0) return a;
    return -a;
}

///找到一个质因素
ll pollard_rho(ll x,ll c)
{
    ll i=1,k=2;
    srand(time(NULL));
    ll x0=rand()%(x-1)+1;//随即一个因子来判断
    ll y=x0;
    while(1)
    {
        i++;
        x0=(mult_mod(x0,x0,x)+c)%x;
        ll d=gcd(y-x0,x);
        if(d!=1&&d!=x) return d;
        if(y==x0) return x;
        if(i==k)
        {
            y=x0;
            k+=k;
        }
    }
}

///对n进行质因素分解，存入factor数组，k为了防止死循环，设置为107左右
void findfac(ll n,int k)
{
    if(n==1)
        return;
    if(Miller_Rabbin(n))
    {
        factor[tot++]=n;
        return;
    }
    ll p=n;
    int c=k;
    while(p>=n)
        p=pollard_rho(p,c--);
    findfac(p,k);
    findfac(n/p,k);
}

int main()
{
    int t;scanf("%d",&t);
    ll n;
    while(t--)
    {
        scanf("%I64d",&n);
        if(Miller_Rabbin(n))
        {
            printf("Prime\n");
            continue;
        }
        tot=0;
        findfac(n,107);
        sort(factor,factor+tot);
        printf("%I64d\n",factor[0]);
    }
    return 0;
}