算法——动态规划篇——最长公共子序列

问题描述

     最长公共子序列，英文缩写为LCS（Longest Common Subsequence）。其定义是，一个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。  

    解决最长公共子序列，一种常用的办法，就是穷举法，组合出所有的情况，但是这样对于长序列的情况来说，是非常不实际。。

假设现在有两个序列，x[]={'A','B','C','B','D','A','B'};y[]={'B','D','C','A','B','A'};

如果采用穷举的方式，会是以下情况

x:A,B,C,B,D,A,B

y:B,D,C,A,B,A

A与B比较，一直到A与Y中出现的第一个A遇到事停止（红色部分），然后再从X序列中的B与Y中B开始比较，（绿色部分），接着这样下去，直观上看，执行这一次遍历，就是n*n的代价，要是把所有的可能都遍历一下，代价太大了。。

只有采用其他的方法了，

动态规划：

观察到序列求解过程中，有一定的相似度，比如说，如果我们的序列是X:A,B,C;Y:B,D,C;由于Xc=Yc,所有要往前面的两个元素看，也就是比较X:A,B;Y:B,D，由于Xb!=Yd,那么我们需要判断X:A；Y:B,D的最大序列，以及X:A,B；YB的最大序列，取两者中最大的一个，保留下来，作为X:A,B;Y:B,D的最大序列值。

分析问题的时候一直要先从整体上来把握，体会他的整体局部的相关性，而不是孤立出来，只是单纯的从元素本身来判断，那样就不好明白问题的规律。。。

最后还是翻看了算法导论，才明白这一点，没有把握住，问题的本质。。

最长子序列的规律：

c[i][j]={

0  ,i=0||j=0

c[i-1][j-1]+1  ,i,j>0&&xi=yj

        max(c[i-1][j],c[i][j-1]),i,j>0&&xi!=yj

}

分析清楚问题真的很重要。。。。把握问题的本质。。。

代码如下：

package hello.ant;
//最长公共子序列
public class AlogLCS {
	public static void main(String[] args) {
		char x[]={'A','B','C','B','D','A','B'};
		char y[]={'B','D','C','A','B','A'};
		
		int c[][]=new int[x.length+1][y.length+1];
		//////////////    ^|^               ~~               ~~~
		/////////////      |               ~ -------            ~~~
		//////////////     |                ~~                      ~~
		//////////////     用0表示向上       1向左                           		2表示斜向左上
		int flag[][]=new int[x.length+1][y.length+1];//用来控制打印的方向
		
		//初始化
		for(int i=0;i<y.length+1;i++){
			c[0][i]=0;
		}
		for(int i=0;i<x.length+1;i++){
			c[i][0]=0;
		}
		for(int i=1;i<x.length+1;i++){
			for(int j=1;j<y.length+1;j++){
				if(x[i-1]==y[j-1]){
					c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
					flag[i][j]=2;
				}else {
					if(c[i-1][j]>=c[i][j-1]){
						c[i][j]=c[i-1][j];
						flag[i][j]=0;
					}else {
						c[i][j]=c[i][j-1];
						flag[i][j]=1;
					}
				}
			}
		}
		StringBuilder result=new StringBuilder();
		display(x,flag,x.length,y.length,result);
		System.out.println("\n*********");
		System.out.println(result.reverse().toString());
	}

	static void display(char[] x, int[][] flag, int i, int j,StringBuilder result) {
		if(i==0||j==0){
			return;
		}
		if(flag[i][j]==2){
			System.out.print(x[i-1]+"  ");
			result.append(x[i-1]);
			display(x, flag, i-1, j-1,result);
		}else if(flag[i][j]==1){
			display(x, flag, i, j-1,result);
		}else if(flag[i][j]==0){
			display(x, flag, i-1, j,result);
		}
	}
}

结果如下：

A  B  C  B  
*********
BCBA

红色部分才是真正的最长子序列。。。