01背包

01背包

什么是01背包？

• 01背包就是在M件物品取出若干件放在空间为W的背包里，每件物品的体积为C₁，C₂，…，C_n，与之相对应的价值为W₁,W₂，…，W_n。求将哪些物品装入背包可使总价值最大。

01背包的分析：

• 子问题：F[i][j]表示前 i 件物品中选取若干件物品放入剩余空间为 j 的背包中所能得到的最大价值。
• 判断第 i 件物品放还是不放：
  • F [ i ][ j ] = max {  F [ i-1 ][ j ] ，F[ i-1 ][ j-C[ i ] ] + w[ i ]  }。
  • F [ i-1 ][ j ] 表示前i-1件物品中选取若干件物品放入剩余空间为j的背包中所能得到的最大价值。
    
  • F[ i-1 ][ j-C[ i ] ] + w[ i ] 表示前i-1件物品中选取若干件物品放入剩余空间为j-C[i]的背包中所能取得的最大价值加上第i件物品的价值。

模板代码：

• 二维数组：

• #include <iostream>
  #include <string.h>
  #include <stdio.h>
  
  int dp[1001][1001],c[1001],w[1001];
  int main()
  {
      int t,k,v,i,j;
      scanf("%d",&t);
      while(t--)
      {
          scanf("%d %d",&k,&v);
          memset(dp,0,sizeof(dp));//初始化操作
          for(i=1;i<=k;i++)
              scanf("%d",&w[i]);
          for(i=1;i<=k;i++)
              scanf("%d",&c[i]);
          for(i=1;i<=k;i++)
          {
              for(j=0;j<=v;j++)
              {
                  if(c[i]<=j)//表示第i个物品将放入大小为j的背包中
                      dp[i][j]=dp[i-1][j]>(dp[i-1][j-c[i]]+w[i])?dp[i-1][j]:(dp[i-1][j-c[i]]+w[i]);//第i个物品放入后，那么前i-1个物品可能会放入也可能因为剩余空间不够无法放入
                  else dp[i][j]=dp[i-1][j];//第i个物品无法放入
              }
          }
          printf("%d\n",dp[k][v]);
      }
      return 0;
  }

• 一维数组：（优化版）

• #include <iostream>
  #include <string.h>
  #include <stdio.h>
  using namespace std;
  int dp[1001],c[1001],w[1001];
  int main()
  {
      int t,k,v,i,j;
      scanf("%d",&t);
      while(t--)
      {
          scanf("%d %d",&k,&v);
          memset(dp,0,sizeof(dp));
          for(i=1;i<=k;i++)
              scanf("%d",&w[i]);
          for(i=1;i<=k;i++)
              scanf("%d",&c[i]);
          for(i=1;i<=k;i++)
          {
              for(j=v;j>=c[i];j--)
              {
                  dp[j]=dp[j]>(dp[j-c[i]]+w[i])?dp[j]:(dp[j-c[i]]+w[i]);
              }
          }
          printf("%d\n",dp[v]);
      }
      return 0;

• 该方法只是对背包的空间进行优化。
• 事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推dp[v]，这样才能保证推dp[v]时dp[v-c[i]]保存的是状态dp[i-1][v-c[i]]的值。
  
• 所以这种解法只能由V--0，不能反过来，如果反过来就会造成物品重复放置！

练习题目：

• hdu oj 2602 Bone Collector
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