HDU 汉诺塔 1207 2064 2077 1995

汉诺塔II

题目

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分析

现在有四根柱子（A，B，C，D），其他规则不变。我们的目标是将n个盘移到D上，所以我们首先将n-1个盘移到B、C上，然后将第n个盘移到D上。我们令从A->D需要F(n)步，下面分为三步实现：

• 将r个柱子从A->B，共有F(r)步；

• 将剩下的n-r个柱子从A-D，此时，B柱上所有的盘子都比这n-r个盘子小，所以只能使用C、D，这是一个经典的汉诺塔问题。需要2^(n-r)-1步

• 再将B柱上的r个盘子移到D上，需要F(r)步

所以一共需要F(n) = 2*F(r) + 2^(n-r) - 1步。对于不同的r，F(n)不同。我们采用循环的方式，对r进行遍历，用min标记F(n)最小值。求得min[ 2*F(r) + 2^(n-r) - 1] (1 <= r < n)

代码

#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define MAX 70 
#define INF 99999999

long long hanoi2(int);


int main()
{
    int n; 
    long long res;

    while (scanf("%d", &n) != EOF)
    {
        if (n < 1 || n > 64)
            break;
        res = hanoi2(n);
        printf("%lld\n", res);

    }
    return 0;
}

long long hanoi2(int n)
{
    long long  a[MAX] = {
        0, 1, 3
    };
    long long min;
    int i, j;
    for (i = 3; i <= n; i++)
    {
        min = INF; //作为哨兵，初始化应该放在第一个循环内，这样第二个循环才能顺利执
    
        for (j = 1; j < i; j++)
        {
            /* 一定要转换为unsigned，否则当n=64时，结果会溢出 */
            if(min > 2*a[j] + (unsigned long long )pow(2, i-j) - 1)
                min = 2*a[j] + (unsigned long long )pow(2,i-j) - 1;
        }
        a[i] = min;

    }
    return a[n];
    
}

汉诺塔III

题目

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分析

这道题很简单。我们令将n个盘从A->B需要F(n)步。下面分三步进行：

• 将n-1个盘从A-B-C，需要F(n-1)步

• 将第n个盘从A-B，再将n-1个盘从C-B-A，需要F(n-1) + 1 步

• 将第n个盘从B-C，再将n-1个盘从A-B-C，需要1 + F(n-1) 步

所以F(n) = 3*F(n-1) + 2步，有通项公式 f(n) = 3^n - 1

代码

int main()
{
	int n, i;
	long long res;
	while (scanf("%d", &n) != EOF)
	{
		if (n < 1 || n > 35)
			break;
		res = 2;
		if (n == 1)
			printf("%lld\n", res);
		else
		{
			for (i = 2; i <= n; i++)
			{
				res = 3*res + 2;
			}
			printf("%lld\n", res);

		}
	}
	return 0;
}

汉诺塔IV

题目

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分析

这道题是2064汉诺塔3的变形。我们分三步实现：

1. 先将上面n-1个盘子从A-B，需要g(n-1)步
2. 再将第n个盘子从A-B-C，需要2步
3. 最后将n-1个盘子从B-C,需要g(n-1)步
   

F(n) = 2 * g(n-1) + 2.所以题目转化为只要求g(n)的递推式，或者通项公式即可。

为了实现1,我们需要将上面n-2个盘子从A-B-C（这就是汉诺塔3的问题），再将第n-1个盘子从A-B。然后，再将上面n-2个盘子从C-B。有，g(n-1) = 3^(n-2)-1 + 1 + g(n-2) ,从而有g(n) = (3^n - 1)/2。

所以，F(n) = 3^(n-1) + 1

代码

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main()
{
	int n, t;
	long long res, temp;

	
	while (scanf("%d", &t) != EOF)
	{
		while(t--)
		{
			scanf("%d", &n);
			if (n < 1 || n > 20)
				break;
			res = (long long) pow (3, n - 1) + 1;
			printf("%lld\n", res);
		}
	}
	return 0;
}

汉诺塔V

题目

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分析

这道题最水了。不要被表面假象所唬住。

假设有64个盘子，我们先看第64个盘子，它只需要移动1次；第63个盘子移动两次，前一次是为地64个盘子移的；第62个盘子移动4次，前两次是为第64个盘子移的，第三次是为了第63个盘子移的；。。。

可以看出规律第k个盘子移动了 2^(n-k)次。

代码

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main()
{
	int t, n, k;
	long long res;

	while (scanf("%d", &t) != EOF)
	{
		while (t--)	
		{
			scanf("%d %d", &n, &k);
			if ( k >= 1 && k <= n && n <= 60)
			{
				res = (long long) pow (2, n-k);
				printf("%lld\n", res);

			}
		}
	}
	return 0;
}