【线性代数公开课MIT Linear Algebra】 第六课 AX=b与列空间、零空间

本系列笔记为方便日后自己查阅而写，更多的是个人见解，也算一种学习的复习与总结，望善始善终吧~

列空间

给定矩阵 A ，对于 Ax=b ，当 b 满足什么条件时有解？

回忆第二课关于矩阵乘法的内容, Ax 相乘， A 为矩阵， x 为向量，二者相乘的结果可以看做是 A 中col vector的线性组合（linear combination）
第二课链接：http://blog.csdn.net/a352611/article/details/48603941
显然 Ax 组成了一个空间，我们称之为列空间（column space），当 b 在该空间中时，有解。

零空间

给定矩阵 A ，对于 Ax=b ，当 b 为零向量(zero vector)时， x 有什么特点？

很明显， x 肯定包含零点，那么是否包含其他解？换个角度想： A 的col vector存在某一个线性组合可以得到零向量的条件是什么？

A 中某个col vector 可以由其他的col vector线性组合得到，即 A 中的列向量存在线性关系

现在思考另外一个问题 x 会不会也是一个空间？假设 x 是一个空间，取其中二个向量 x1 和 x2 ，考察加法和乘法：
1. A(x1+x2)=Ax1+Ax2=0 ，满足
2. A(kx1)=kAx1=0 ，对 x2 同理，满足
所以可以知道 x 必定是一个空间，我们称之为零空间。

我们如何区分一个系统是线性或非线性？实际上和空间一样，对于系统 A ，输入 x1 、 x2 、 x1+x2 、 kx1 得到输出 y1 、 y2 、 y3 、 y4 ，如果 y1+y2=y3 且 y4=ky1 则称系统 A 为线性系统

和空间一样满足加法和乘法，这就是线性，所以线性系统 A 可以用矩阵表示，输入与输出关系等同于 Ax=y

PS：更详细的课堂笔记见另一位仁兄的笔记
http://blog.csdn.net/suqier1314520/article/details/10287761