LOG算子

背景引言

在博文差分近似图像导数算子之Laplace算子中，我们提到Laplace算子对通过图像进行操作实现边缘检测的时，对离散点和噪声比较敏感。于是，首先对图像进行高斯暖卷积滤波进行降噪处理，再采用Laplace算子进行边缘检测，就可以提高算子对噪声和离散点的Robust, 这一个过程中Laplacian of Gaussian(LOG)算子就诞生了。本节主要介绍LOG算子基本理论数学分析比较多些，最后，贴出用Mathcad软件实现的LOG代码。

基本理论

高斯卷积函数定义为：

而原始图像与高斯卷积定义为：

因为：

所以Laplacian of Gaussian(LOG)可以通过先对高斯函数进行偏导操作，然后进行卷积求解。公式表示为：

和

因此，我们可以LOG核函数定义为：

高斯函数和一级、二阶导数如下图所示：

    

Laplacian of Gaussian计算可以利用高斯差分来近似，其中差分是由两个高斯滤波与不同变量的卷积结果求得的

从两个平平滑算子的差分得出的是二阶边缘检测，反直观。近似计算可能如下图所示。图中一维空间，不同变量的两个高斯分布相减形成一个一维算子

参考代码

计算LOG算子模板系数的式(4.27)实现如下代码：

此函数包括一个正规函数，它确保模板系数的总和为1. 以便在均匀亮度区域不会检测到边缘。

参考资料

[1] Laplacian of Gaussian http://fourier.eng.hmc.edu/e161/lectures/gradient/node9.html.

[2] Rafael C.Gonzalez, Rechard E.Woods at. el , "Digital Image Processing Using MatLab (Second Editon)",Gatesamark Publishing.

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