一些定义:
如下面的二叉树,叶子节点的权值分别为5、6、2、4、7,的带权路径长度计算:
如,给定4个叶子结点a,b,c和d,分别带权7,5,2和4。构造如下图所示的三棵二叉树(还有许多棵),它们的带权路径长度分别为:
(a)WPL=7*2+5*2+2*2+4*2=36
(b)WPL=7*3+5*3+2*1+4*2=46
(c)WPL=7*1+5*2+2*3+4*3=35
其中(c)树的WPL最小,可以验证,它就是哈夫曼树。
注意:
① 叶子上的权值均相同时,完全二叉树一定是最优二叉树,否则完全二叉树不一定是最优二叉树。
② 最优二叉树中,权越大的叶子离根越近。
③ 最优二叉树的形态不唯一,WPL最小。
1) 根据给定的n个权值{w1, w2, w3, w4......wn}构成n棵二叉树的森林 F={T1 , T2 , T3.....Tn},其中每棵二叉树只有一个权值为wi 的根节点,其左右子树都为空;
2) 在森林F中选择两棵根节点的权值最小的二叉树,作为一棵新的二叉树的左右子树,且令新的二叉树的根节点的权值为其左右子树的权值和;
3)从F中删除被选中的那两棵子树,并且把构成的新的二叉树加到F森林中;
4)重复2 ,3 操作,直到森林只含有一棵二叉树为止,此时得到的这棵二叉树就是哈夫曼树。
构造过程如下图:
对指定节点创建哈夫曼树:
package com.liuhao.DataStructures; import java.util.ArrayDeque; import java.util.ArrayList; import java.util.List; import java.util.Queue; public class HuffmanTree { public static class Node<E> { E data; double weight; Node leftChild; Node rightChild; public Node(E data, double weight) { super(); this.data = data; this.weight = weight; } public String toString() { return "Node[data=" + data + ", weight=" + weight + "]"; } } public static void main(String[] args) { List<Node> nodes = new ArrayList<Node>(); nodes.add(new Node("A", 40.0)); nodes.add(new Node("B", 8.0)); nodes.add(new Node("C", 10.0)); nodes.add(new Node("D", 30.0)); nodes.add(new Node("E", 10.0)); nodes.add(new Node("F", 2.0)); Node root = HuffmanTree.createTree(nodes); System.out.println(breadthFirst(root)); } /** * 构造哈夫曼树 * * @param nodes * 节点集合 * @return 构造出来的哈夫曼树的根节点 */ private static Node createTree(List<Node> nodes) { // 只要nodes数组中还有2个以上的节点 while (nodes.size() > 1) { quickSort(nodes); //获取权值最小的两个节点 Node left = nodes.get(nodes.size()-1); Node right = nodes.get(nodes.size()-2); //生成新节点,新节点的权值为两个子节点的权值之和 Node parent = new Node(null, left.weight + right.weight); //让新节点作为两个权值最小节点的父节点 parent.leftChild = left; parent.rightChild = right; //删除权值最小的两个节点 nodes.remove(nodes.size()-1); nodes.remove(nodes.size()-1); //将新节点加入到集合中 nodes.add(parent); } return nodes.get(0); } /** * 将指定集合中的i和j索引处的元素交换 * * @param nodes * @param i * @param j */ private static void swap(List<Node> nodes, int i, int j) { Node tmp; tmp = nodes.get(i); nodes.set(i, nodes.get(j)); nodes.set(j, tmp); } /** * 实现快速排序算法,用于对节点进行排序 * * @param nodes * @param start * @param end */ private static void subSort(List<Node> nodes, int start, int end) { if (start < end) { // 以第一个元素作为分界值 Node base = nodes.get(start); // i从左边搜索,搜索大于分界值的元素的索引 int i = start; // j从右边开始搜索,搜索小于分界值的元素的索引 int j = end + 1; while (true) { // 找到大于分界值的元素的索引,或者i已经到了end处 while (i < end && nodes.get(++i).weight >= base.weight) ; // 找到小于分界值的元素的索引,或者j已经到了start处 while (j > start && nodes.get(--j).weight <= base.weight) ; if (i < j) { swap(nodes, i, j); } else { break; } } swap(nodes, start, j); //递归左边子序列 subSort(nodes, start, j - 1); //递归右边子序列 subSort(nodes, j + 1, end); } } public static void quickSort(List<Node> nodes){ subSort(nodes, 0, nodes.size()-1); } //广度优先遍历 public static List<Node> breadthFirst(Node root){ Queue<Node> queue = new ArrayDeque<Node>(); List<Node> list = new ArrayList<Node>(); if(root!=null){ //将根元素加入“队列” queue.offer(root); } while(!queue.isEmpty()){ //将该队列的“队尾”元素加入到list中 list.add(queue.peek()); Node p = queue.poll(); //如果左子节点不为null,将它加入到队列 if(p.leftChild != null){ queue.offer(p.leftChild); } //如果右子节点不为null,将它加入到队列 if(p.rightChild != null){ queue.offer(p.rightChild); } } return list; } }以上代码中的关键步骤包括:
(1)对list集合中所有节点进行排序;
(2)找出list集合中权值最小的两个节点;
(3)以权值最小的两个节点作为子节点创建新节点;
(4)从list集合中删除权值最小的两个节点,将新节点添加到list集合中
程序采用循环不断地执行上面的步骤,直到list集合中只剩下一个节点,最后剩下的这个节点就是哈夫曼树的根节点
根据哈夫曼树可以解决报文编码的问题。假设需要把一个字符串,如“abcdabcaba”进行编码,将它转换为唯一的二进制码,但是要求转换出来的二进制码的长度最小。
假设每个字符在字符串中出现频率为W,其编码长度为L,编码字符n个,则编码后二进制码的总长度为W1L1+W2L2+…+WnLn,这恰好是哈夫曼树的处理原则。因此可以采用哈夫曼树的构造原理进行二进制编码,从而使得电文长度最短。
对于“abcdabcaba”,共有a、b、c、d4个字符,出现次数分别为4、3、2、1,相当于它们的权值,将a、b、c、d以出现次数为权值构造哈夫曼树,得到下左图的结果。
从哈夫曼树根节点开始,对左子树分配代码“0”,对右子树分配“1”,一直到达叶子节点。然后,将从树根沿着每条路径到达叶子节点的代码排列起来,便得到每个叶子节点的哈夫曼编码,如下右图。
从图中可以看出,a、b、c、d对应的编码分别为0、10、110、111,然后将字符串“abcdabcaba”转换为对应的二进制码就是0101101110101100100,长度仅为19。这也就是最短二进制编码,也称为哈夫曼编码。