Cracking the coding interview--Q8.2

题目

原文：

Imagine a robot sitting on the upper left hand corner of an NxN grid. The robot can only move in two directions: right and down. How many possible paths are there for the robot?
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Imagine certain squares are “off limits”, such that the robot can not step on them. Design an algorithm to get all possible paths for the robot.

译文：

假想NxN矩阵的左上角坐着一个机器人，这个机器人仅可以在右和下了个方向移动，这个机器人移动到右下角有多少条可能的路径？

进一步说，

假想有些格子是受限的，机器人不能踏上去，设计一个算法获取所有可能是路径。

解答

公式法：

为了简化这个问题，假设矩阵是mxn的，则需要从左上格（1,1）移动到右下格（m,n）

很显然，每条路径总共要移动m-1+n-1步，所以由数学知识，总路径数是从总步数（m-1+n-1）中选取（m-1）步向右移，剩余的（n-1）步向下移，有排列组合公式：

C(m-1+n-1,m-1)=(m-1+n-1)!/((m-1)!*(n-1))

代码如下：

	public static int path(int m,int n){
		return factorial(m-1+n-1)/(factorial(m-1)*factorial(n-1));
	}
	public static int factorial(int n){
		if(n==0) return 1;
		return n*factorial(n-1);
	}

递归法：

首先找出递归公式，在矩阵中，对于格子（i,j）,从格子（1,1）到格子（i,j）,设路径数为path(i,j),则有

path(i,j)=path(i-1,j)+path(i,j-1);

即是要到达格子（i,j）,则要么从左边的格子右移得到，要么从上边的格子下移得到；当i或j等于1时，则最短路径就只能沿直线走了，只有一条最短路径，代码如下：

	public static int path1(int m,int n){
		if(m==1||n==1) return 1;
		else return path1(m-1,n)+path1(m,n-1);
	}

完整代码如下：

class Q8_2{
	//
	public static int path(int m,int n){
		return factorial(m-1+n-1)/(factorial(m-1)*factorial(n-1));
	}
	public static int factorial(int n){
		if(n==0) return 1;
		else return n*factorial(n-1);
	}
	//recursion
	public static int path1(int m,int n){
		if(m==1||n==1) return 1;
		else return path1(m-1,n)+path1(m,n-1);
	}
	public static void main(String[] args){
		int m=4;
		int n=3;
		System.out.println(path(m,n));
		System.out.println(path1(m,n));
	}
}

---EOF---