单源最短路径
给定一个图,和一个源顶点src,找到从src到其它所有所有顶点的最短路径,图中可能含有负权值的边。
Dijksra的算法是一个贪婪算法,时间复杂度是O(VLogV)(使用最小堆)。但是迪杰斯特拉算法在有负权值边的图中不适用,Bellman-Ford适合这样的图。在网络路由中,该算法会被用作距离向量路由算法。
Bellman-Ford也比迪杰斯特拉算法更简单和同时也适用于分布式系统。但Bellman-Ford的时间复杂度是O(VE),这要比迪杰斯特拉算法慢。(V为顶点的个数,E为边的个数)
算法描述
输入:图 和 源顶点src
输出:从src到所有顶点的最短距离。如果有负权回路(不是负权值的边),则不计算该最短距离,没有意义,因为可以穿越负权回路任意次,则最终为负无穷。
算法步骤
1.初始化:将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 dist[v] ← +∞, dist[s] ←0;
2.迭代求解:反复对边集E中的每条边进行松弛操作,使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离;(运行|v|-1次)
3.检验负权回路:判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点,则算法返回false,表明问题无解;否则算法返回true,并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在 dist[v]中。
关于该算法的证明也比较简单,采用反证法,具体参考:http://courses.csail.mit.edu/6.006/spring11/lectures/lec15.pdf
该算法是利用动态规划的思想。该算法以自底向上的方式计算最短路径。
它首先计算最多一条边时的最短路径(对于所有顶点)。然后,计算最多两条边时的最短路径。外层循环需要执行|V|-1次。
例子
一下面的有向图为例:给定源顶点是0,初始化源顶点距离所有的顶点都是是无穷大的,除了源顶点本身。因为有5个顶点,因此所有的边需要处理4次。
按照以下的顺序处理所有的边:(B,E), (D,B), (B,D), (A,B), (A,C), (D,C), (B,C), (E,D).
第一次迭代得到如下的结果(第一行为初始化情况,最后一行为最终结果):
当 (B,E), (D,B), (B,D) 和 (A,B) 处理完后,得到的是第二行的结果。
当 (A,C) 处理完后,得到的是第三行的结果。
当 (D,C), (B,C) 和 (E,D) 处理完后,得到第四行的结果。
第一次迭代保证给所有最短路径最多只有1条边。当所有的边被第二次处理后,得到如下的结果(最后一行为最终结果):
第二次迭代保证给所有最短路径最多只有2条边。我们还需要2次迭代(即所谓的松弛操作),就可以得到最终结果。
代码
/*------------------------------------- * 日期:2015-04-22 * 作者:SJF0115 * 题目: Bellman-Ford算法(单源最短路径) * 博客: ------------------------------------*/
#include <iostream>
using namespace std;
//表示一条边
struct Edge{
// 起点
int src;
// 终点
int dest;
// 权重
int weight;
};
//带权值的有向图
struct Graph{
// 顶点的数量
int V;
// 边的数量
int E;
// 用边的集合 表示一个图
Edge* edge;
};
// 创建图
Graph* CreateGraph(int v,int e){
Graph* graph = (Graph*)malloc(sizeof(Graph));
graph->E = e;
graph->V = v;
graph->edge = (Edge*)malloc(e*sizeof(Edge));
return graph;
}
// 打印结果
void Print(int dist[],int n){
cout<<"单源最短路径:"<<endl;
for(int i = 0;i < n;++i){
if(dist[i] == INT_MAX){
cout<<"与节点"<<i<<"距离->无穷大"<<endl;
}//if
else{
cout<<"与节点"<<i<<"距离->"<<dist[i]<<endl;
}
}//for
}
// 单源最短路径
bool BellmanFord(Graph* graph,int src){
int v = graph->V;
int e = graph->E;
// 存储距离
int dist[v];
// 初始化
for(int i = 0;i < v;++i){
dist[i] = INT_MAX;
}//for
dist[src] = 0;
// v-1次操作
Edge edge;
int a,b,weight;
for(int i = 1;i < v;++i){
// 对e条边进行松弛
for(int j = 0;j < e;++j){
edge = graph->edge[j];
a = edge.src;
b = edge.dest;
weight = edge.weight;
if(dist[a] != INT_MAX && dist[a]+weight < dist[b]){
dist[b] = dist[a]+weight;
}//if
}//for
}//for
// 检测负权回路
bool isBack = false;
for(int i = 0;i < e;++i){
edge = graph->edge[i];
a = edge.src;
b = edge.dest;
weight = edge.weight;
if(dist[a] != INT_MAX && dist[a]+weight < dist[b]){
isBack = true;
break;
}//if
}//for
// 打印结果
Print(dist,v);
return isBack;
}
int main(){
int v = 7;
int e = 9;
Graph* graph = CreateGraph(v,e);
graph->edge[0].src = 0;
graph->edge[0].dest = 1;
graph->edge[0].weight = -1;
graph->edge[1].src = 0;
graph->edge[1].dest = 2;
graph->edge[1].weight = 4;
graph->edge[2].src = 1;
graph->edge[2].dest = 2;
graph->edge[2].weight = 3;
graph->edge[3].src = 1;
graph->edge[3].dest = 3;
graph->edge[3].weight = 2;
graph->edge[4].src = 1;
graph->edge[4].dest = 4;
graph->edge[4].weight = 2;
graph->edge[5].src = 3;
graph->edge[5].dest = 2;
graph->edge[5].weight = 5;
graph->edge[6].src = 3;
graph->edge[6].dest = 1;
graph->edge[6].weight = 1;
graph->edge[7].src = 4;
graph->edge[7].dest = 3;
graph->edge[7].weight = -3;
graph->edge[8].src = 5;
graph->edge[8].dest = 6;
graph->edge[8].weight = 2;
bool result = BellmanFord(graph,0);
if(result){
cout<<"图中存在回路"<<endl;
}//if
else{
cout<<"图中不存在回路"<<endl;
}//else
return 0;
}
转载于:Bellman-Ford最短路径算法