算法导论 4-6 VLSI芯片测试

4-6　　VLSI芯片测试

　　　　Diogenes教授有n个被认为是完全相同的VLSI芯片，原则上它们是可以互相测试的。教授的测试装置一次可测二片，当该装置中放有两片芯片时，每一片就对另一片作测试并报告其好坏。一个好的芯片总是能够报告另一片的好坏，但一个坏的芯片的结果是不可靠的。这样，每次测试的四种可能结果如下：

 

　　　　A芯片报告　　　　　　　　　B芯片报告　　　　　结论

　　　　B是好的　　　　　　　　　　A是好的　　　　　　都是好的，或都是坏的

　　　　B是好的　　　　　　　　　　A是坏的　　　　　　至少一片是坏的

　　　　B是坏的　　　　　　　　　　A是好的　　　　　　至少一片是坏的

　　　　B是坏的　　　　　　　　　　A是坏的　　　　　　至少一片是坏的

 

a）证明若多于n/2的芯片是坏的，在这种成对测试方法下，使用任何策略都不能确定哪个芯片是好的。假设坏的芯片可以联合起来欺骗教授。

b）假设有多于n/2的芯片是好的，考虑从n片中找出一片好芯片的问题。证明[n/2]对（下界）测试就足以使问题的规模降至近原来的一半。

c）假设多于n/2片芯片是好的，证明好的芯片可用Θ(n)对测试找出。给出并解答表达式测试次数的递归式。

算法分析：

(a) 可以采用时间复杂性最高但最准确的方法进行穷举：对每一个芯片，都让其他所有芯片和其配对检测，由于坏芯片的数量大于n/2，所以没有办法从检测结果判断芯片的好坏，所以~。

(b) 根据问题叙述的四种情况，可以想到用分治法来二分的解决问题，首先说下思路：

总：通过每次的划分子问题，并且保持满足好芯片多于坏芯片这一条件的循环不变式，我们就可以通过不断减小问题规模最终得到好芯片。

  (1) 首先将原来的n个芯片随机的两两配对，这样就得到了[n/2]（下界）个检测对，可以假设，在n中有x个好芯片，y个坏芯片，检测对中有g对检测结果两个都为好的检测对，其中有a对为两个都为好芯片，b对两个都为坏芯片：

  (2) 根据n的奇偶性不同分别进行分析：

    1. 如果n为偶数，在剩下的([n/2] - g)对中坏芯片的数量大于等于好芯片，又x > y（这说明x - y >= 2），则在g对中a > b；

    2. 如果n为奇数，就有一个芯片剩下没有配对，那么在x - y = 1的情况下，根据剩下那个芯片的好坏不同就有可能出现不同的情况：

      如果g为奇数，即使g对以外的检测中坏芯片好芯片各占一半的，也能保证在g对中a - b >= 2，这样舍弃剩下未检测的芯片也能使新取出来的检       测序列中好芯片多于坏芯片；

      如果g为偶数：

         如果这个剩下的芯片是好的话，就有a >= b，留下这个芯片没有问题；

         如果这个芯片是坏的话，就有a - b >= 2（因为g为偶数，要大只能大2个），留下这个坏芯片也没有问题。

  (3) 这样在就得到一个规模为[n/2]的新检测序列，并且这个新序列也满足好芯片多于怀芯片的条件，这时就可以重复1， 2步进行递归或迭代，直到规模为1是，一定可以得到好芯片。

(c) 根据(b)的叙述，显然可以得到：T(n) = T(n/2) + n/2。