更新:2014-02-07 清晨
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来源:http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1692
概述:有个大小为n的初值"向量"A[i],顺时针围成一个圈,然后进行m轮操作。每轮每个A[i]进行操作:A[i] = A[i] + L*A[(i-1+n)%n] + R*A[(i+1)%n]。最后的A[i]对M取余。
勘误:原题L和R上下文没有匹配,一种修正方法是:Sample Input的输入顺序是"n m R L M",其它不变。
补充:
(1)A[i] = A[i] + L*A[(i-1+n)%n] + R*A[(i+1)%n]解释:这是围成圈的数值,常用的索引方法,要非常熟悉。如果元素按0~n-1编号,顺时针围成一个圈,那么A[(i-1+n)%n] 就是A[i]左边的值,A[(i+1)%n]就是A[i]右边的值。
(2)为了更好的理解题意,我制作了图1,粗斜体数代表输入值。
(3)建议先了解一道更简单的题:http://blog.csdn.net/code4101/article/details/18893319
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理论分析
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编程分析
(1)题目最大对1e6取余,所以元素乘积最大为1e12,会超出int的范围,保险起见,我们对所有的向量、矩阵都用__int64类型。
(2)最后的Y向量,可以不用数组完成。
(3)POW函数中,我的快速幂模板,变量名都是固定有规律的,T数组作为中间存储变量,P存储幂运算前面的系数(在数值里P初始为1,在矩阵里P初始为单位阵),A存储幂运算的底数,b存储幂运算的指数。
(4)效率优化最主要的是“理论分析”中的结论。其次,因为100个乘积累加和最大为1e14,所以可以求和后,再一次性取MOD,而不是每次运算都取MOD。实验证明,这样效率能提高47ms。
#include <cstdio> #include <cstring> using namespace std; typedef __int64 i64; #define N 100 const int SUM = sizeof(i64)*N*N; int n, m, L, R, MOD; // 根据该题特殊矩阵制定的算法 void MUL(i64 a[][N], i64 b[][N], i64 c[][N]) { int i, j, k; // 只算第一行 for (j = 0; j < n; j++) { for (c[0][j] = k = 0; k < n; k++) c[0][j] += a[0][k]*b[k][j]; c[0][j] %= MOD; } // 利用性质,完成接下来几行 for (i = 1; i < n; i++) { c[i][0] = c[i-1][n-1]; for (j = 1; j < n; j++) c[i][j] = c[i-1][j-1]; } } void POW(int b, i64 P[][N]) { int i, j, k; i64 A[N][N] = {0}, T[N][N]; // init P为单位阵 memset(P, 0, SUM); for (i = 0; i < n; i++) P[i][i] = 1; // init A A[0][0] = 1; A[0][1] = R; A[0][n-1] = L; A[n-1][0] = R; A[n-1][n-2] = L; A[n-1][n-1] = 1; for (i = 1; i < n - 1; i++){A[i][i] = 1; A[i][i-1] = L; A[i][i+1] = R;} // 快速幂模 while (b) { if (b&1) { MUL(P, A, T); memcpy(P, T, SUM); } b >>= 1; MUL(A, A, T); memcpy(A, T, SUM); } } int main() { int i, k, T; i64 P[N][N], X[N], Y; scanf("%d", &T); while (T--) { scanf("%d%d%d%d%d", &n, &m, &R, &L, &MOD); for (i = 0; i < n; i++) scanf("%I64d", &X[i]); POW(m, P); for (i = 0; i < n - 1; i++) { for (Y = k = 0; k < n; k++) Y += P[i][k]*X[k]; printf("%I64d ", Y%MOD); } for (Y = k = 0; k < n; k++) Y += P[i][k]*X[k]; printf("%I64d\n", Y%MOD); } return 0; }- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
补充:memset与for的效率比较
经过多次代码测试证明:在该题,使用memset、memcpy对N*N的整个数组进行操作,与用for进行n*n的局部数组操作,效率不变,都是187ms。
另外,把变量L,R等和P[N][N],T[N][N]设置为局部变量或全局变量,效率也没有差异,所以以后编程怎么方便就怎么写,不要纠结这种小效率的优化,遇到特别大的数组时,再考虑是否设为全局变量。
还有,VC++效率也比G++快,用G++慢了31ms。
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方法进阶
通过查阅资料,了解到这种矩阵称为循环矩阵。
请先阅读该篇博客:http://blog.csdn.net/code4101/article/details/18956275,文章对本文的理论分析最后部分给出了证明。
读完该篇博客,相信读者对循环矩阵也有了更进一步的了解,从C=circ(c[0],c[1],...c[n-1])的形式发现,循环矩阵只需用一维数组进行存储就行了。所以上述代码还能进一步优化,把循环矩阵的二维数据结构改成一维,相应对MUL函数等进行更新。
我的代码中,用i,j代表行列,用k代表下标。
#include <cstdio> #include <cstring> using namespace std; typedef __int64 i64; #define N 100 int n, m, L, R, MOD; // circ matrix multiplicative void MUL(i64 a[N], i64 b[N], i64 c[N]) { int i, j, k; for (i = 0; i < n; i++) { for (c[i] = j = 0, k = i + n; j < n; j++, k--) c[i] += a[j]*b[k%n]; c[i] %= MOD; } } void POW(int b, i64 P[N]) { int i, j, k, SUM = sizeof(i64)*n; i64 A[N] = {0}, T[N]; // init P为单位阵 ,单位阵也是特殊的循环矩阵 memset(P, 0, SUM); P[0] = 1; // init A A[0] = 1; A[1] = R; A[n-1] = L; // 快速幂模 while (b) { if (b&1) { MUL(P, A, T); memcpy(P, T, SUM); } b >>= 1; MUL(A, A, T); memcpy(A, T, SUM); } } int main() { int i, j, k, T; i64 P[N], X[N], Y; scanf("%d", &T); while (T--) { scanf("%d%d%d%d%d", &n, &m, &R, &L, &MOD); for (i = 0; i < n; i++) scanf("%I64d", &X[i]); POW(m, P); for (i = 0; i < n - 1; i++) { for (Y = j = 0, k = n - i; j < n; k++, j++) Y += P[k%n]*X[j]; printf("%I64d ", Y%MOD); } for (Y = j = 0, k = n - i; j < n; k++, j++) Y += P[k%n]*X[j]; printf("%I64d\n", Y%MOD); } return 0; }
进阶方法效率上又更进一步,用时109ms。
花絮:奇怪的是,换成SUM = sizeof(i64)*N;竟然用时125ms。