C++高精度运算模板
更新：2015-02-09
友情提醒：后面我开发了另一种版本的高精度类，鲁棒性会更好。
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更新：2014-05-05 中午
功能：正整数的加、减、乘、除、取余、大小关系运算。
概述：本文分三个模块——模板、介绍、例题。在“模板”贴出高精度模板的完整不含注释源代码，在“介绍”分节讲解各个功能的原理及要点。在“例题”举出5道UVA的高精度题作为应用举例。
感谢：刘汝佳的《算法竞赛入门经典》，模板的源框架摘自xiaobaibuhei，除法和取余运算借鉴自误@解。当然，集大成和功能的扩展、代码精简，至少有五成还是自己的功劳
。
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模板：建议计算时把较大的数放在左边对较小的数做运算，比如“999+1”而不是"1+999"，因为我的模板针对该类型进行了很大的效率优化。另外模板可能因为更新的缘故，跟后面的解说会有细微出入。
#include <iostream>
#include <string>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int maxn = 1000;
struct bign{
int d[maxn], len;
void clean() { while(len > 1 && !d[len-1]) len--; }
bign() { memset(d, 0, sizeof(d)); len = 1; }
bign(int num) { *this = num; }
bign(char* num) { *this = num; }
bign operator = (const char* num){
memset(d, 0, sizeof(d)); len = strlen(num);
for(int i = 0; i < len; i++) d[i] = num[len-1-i] - '0';
clean();
return *this;
}
bign operator = (int num){
char s[20]; sprintf(s, "%d", num);
*this = s;
return *this;
}
bign operator + (const bign& b){
bign c = *this; int i;
for (i = 0; i < b.len; i++){
c.d[i] += b.d[i];
if (c.d[i] > 9) c.d[i]%=10, c.d[i+1]++;
}
while (c.d[i] > 9) c.d[i++]%=10, c.d[i]++;
c.len = max(len, b.len);
if (c.d[i] && c.len <= i) c.len = i+1;
return c;
}
bign operator - (const bign& b){
bign c = *this; int i;
for (i = 0; i < b.len; i++){
c.d[i] -= b.d[i];
if (c.d[i] < 0) c.d[i]+=10, c.d[i+1]--;
}
while (c.d[i] < 0) c.d[i++]+=10, c.d[i]--;
c.clean();
return c;
}
bign operator * (const bign& b)const{
int i, j; bign c; c.len = len + b.len;
for(j = 0; j < b.len; j++) for(i = 0; i < len; i++)
c.d[i+j] += d[i] * b.d[j];
for(i = 0; i < c.len-1; i++)
c.d[i+1] += c.d[i]/10, c.d[i] %= 10;
c.clean();
return c;
}
bign operator / (const bign& b){
int i, j;
bign c = *this, a = 0;
for (i = len - 1; i >= 0; i--)
{
a = a*10 + d[i];
for (j = 0; j < 10; j++) if (a < b*(j+1)) break;
c.d[i] = j;
a = a - b*j;
}
c.clean();
return c;
}
bign operator % (const bign& b){
int i, j;
bign a = 0;
for (i = len - 1; i >= 0; i--)
{
a = a*10 + d[i];
for (j = 0; j < 10; j++) if (a < b*(j+1)) break;
a = a - b*j;
}
return a;
}
bign operator += (const bign& b){
*this = *this + b;
return *this;
}
bool operator <(const bign& b) const{
if(len != b.len) return len < b.len;
for(int i = len-1; i >= 0; i--)
if(d[i] != b.d[i]) return d[i] < b.d[i];
return false;
}
bool operator >(const bign& b) const{return b < *this;}
bool operator<=(const bign& b) const{return !(b < *this);}
bool operator>=(const bign& b) const{return !(*this < b);}
bool operator!=(const bign& b) const{return b < *this || *this < b;}
bool operator==(const bign& b) const{return !(b < *this) && !(b > *this);}
string str() const{
char s[maxn]={};
for(int i = 0; i < len; i++) s[len-1-i] = d[i]+'0';
return s;
}
};
istream& operator >> (istream& in, bign& x)
{
string s;
in >> s;
x = s.c_str();
return in;
}
ostream& operator << (ostream& out, const bign& x)
{
out << x.str();
return out;
}
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介绍-1：基本模板
说明：注释出现的“[int]”形式，代表这是int类型的变量名或者一个int值。其它[bign]、[char*]同理。
#include <iostream> // 要用cin、cout
#include <string> // 要用string类
#include <cstring> // 要用strlen
#include <cstdio> // 要用sprintf
using namespace std;
const int maxn = 2000; // 大整数的最高位数限制
struct bign{
int d[maxn], len;
// 去掉大数的前导0
void clean() { while(len > 1 && !d[len-1]) len--; }
// 初始化：默认初始化为值0
bign() { memset(d, 0, sizeof(d)); len = 1; }
// 初始化：可以用“bign [bign] = [int];”或“bign [bign]([int]);”
bign(int num) { *this = num; }
// 初始化：可以用“bign [bign] = [char*];”或“bign [bign](char*);”
bign(char* num) { *this = num; }
// 赋值：可以用“[bign] = [char*];”
bign operator = (const char* num){
len = strlen(num);
for(int i = 0; i < len; i++) d[i] = num[len-1-i] - '0';
clean();
return *this;
}
// 赋值：可以用“[bign] = [int];”
bign operator = (int num){
char s[maxn];
sprintf(s, "%d", num);
*this = s;
return *this;
}
// 将int数组存储的值转换为高精度的字符串形式
string str() const{
string res;
for(int i = 0; i < len; i++) res = char(d[i]+'0') + res;
return res;
}
};
// 可以用“cin >> [bign];”的方式输入
istream& operator >> (istream& in, bign& x)
{
string s;
in >> s;
x = s.c_str();
return in;
}
// 可以用“cout << [bign];”的方式输出
ostream& operator << (ostream& out, const bign& x)
{
out << x.str();
return out;
}
- 不论做哪类高精度运算最好都完整抄录该部分代码，可以让bign类型用起来跟int一样方便。
- 四个头文件包含了模板中需要用到的数据类型和函数。
- 常量maxn代表会出现的最大整数位数，这个值定太小会出错(见下文的“例题-2”，有个乘法中的陷阱)，但也不要太大浪费过多内存。
- clean在后续的减法、乘法、除法里都要用到。
花絮：1、读者有没发现CSDN的代码高亮有个bug——#include右边写的注释没有变绿色。2、4月底又看了博客，突然明白“bign”是什么意思了，原来是“big-int”啊！难怪我一直找不到bign这个单词。
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介绍-2：扩展bign的运算功能
该部分代码包括上面所有重载的运算符：+、-、*、/、%、+=。
- 注意第加法运算里调用了max 函数，UVA 的 OJ 可以直接使用，其它OJ 未必。
- 模板的减法要注意不能用小数减大数，要算绝对值，可以用(a<b?b-a:a-b)。
- 虽然重载的运算符两边数据类型都是bign，但因为自动强制转换，所以用“[bign]*[int]”也不会错。（这在应用中带来了相当大的便利）
- 这里的除法与C语言中两个整数相除的效果相同，会舍尾取整。且除法里其实包含取余运算了，最后的a就是。
- 末尾写了个重载“+=”的代码，主要是方便bign类型的使用。读者可以根据自己喜好，①把“*=”等的重载代码写上方便使用，②或者在使用bign类型中不要用这类运算符。
最后说一下效率问题，因为我的代码可以进行大数对大数的运算，如大数除大数、大数对大数取余，所以在大数除int、大数对int取余时，效率不及专门功能的函数，这里牺牲效率增加通用性。
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介绍-3：扩展bign的比较功能
只要定义了“<”符号，即可用它定义其他所有比较运算符。实际题目中根据需要抄录小于和其它需要的运算符，不必全部写入(虽然到了高级运算，如取余，就环环相扣，很难删除某一部分了)，在“介绍-2”中的运算符也是一样，这样在ACM比赛中能加快解题速度。- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
例题-1：UVA 424 - Integer Inquiry
题意是求一系列大数的累加和。
我就不复制模板浪费版面了，下面的所有例题也是一样。解题代码：
int main()
{
bign s = 0, t;
while (cin >> t)
{
if (t.len == 1 && !t.d[0]) break;
s = s + t;
}
cout << s << endl;
return 0;
}
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例题-2：UVA 10106 - Product
大数乘法。
注意，虽然单个大数的范围是 250 位以内，但相乘后却会超过250， maxn 至少要定义两个250，即500。笔者曾悲剧的RE了4次才发觉。
int main()
{
bign a, b;
while (cin >> a >> b) cout << a*b << endl;
return 0;
}
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例题-3：UVA 465 - Overflow
大数加法和乘法，判断数值是否超过int。
注意格式要求：每组答案输出前，要输出原输入表达式(保留前导0)，如果 cin 流直接到 bign，则前导 0 会被过滤掉。故要用两个 string 类型的 a,b 作中介。
int main()
{
bign x, y;
string a, t, b;
const bign L = 0x7fffffff;
while (cin >> a >> t >> b)
{
cout << a << ' ' + t + ' ' << b << endl;
x = a.c_str(); y = b.c_str();
if (x > L) puts("first number too big");
if (y > L) puts("second number too big");
if (t == "+" && x+y > L) puts("result too big");
if (t == "*" && x*y > L) puts("result too big");
}
return 0;
} 这题也可以不用模板解，见： Norcy。注：浮点数方法虽然精简，但通用性不及高精度。实际使用要看题目给出的数值范围。最后，说一个未严格验证，另我惊讶的发现：高精度的运算效率比浮点数高，前者运行 0.012m，后者 0.019m。
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例题-4：UVA 748 - Exponentiation
小数的指数高精度运算。
如果为小数高精度也写一个模板，在比赛中会浪费太多时间，而且我暂时也找不到好的实现思路和模板。一般可以仔细观察这类题目，利用整数高精度来完成特殊的小数高精度运算。
例如这题可以理解为整数位数为 5 的连乘积，最后统一做一个放缩，去掉小数尾部的 0，具体实现方法见代码。
int main()
{
int n;
char str[10];
while (scanf("%s%d", &str, &n) != EOF)
{
int w = 10000, val = 0, i = -1, j, k;
while (i++, w) // 要用特殊的方法录入数值val，同时记录小数位置k
{
if (str[i] != '.') val += w*(str[i]-'0'), w /= 10;
else k = 5 - i;
}
bign a = val, p = 1; // 初始化
for (i = 0; i < n; i++) p = p * a; // 直接连乘，指数不大没必要用逐次平方法
for (i = p.len - 1; i > n*k; i--) putchar(p.d[i] + '0'); // 输出个位以上的值
if (p.len > n*k) putchar(p.d[n*k] + '0'); // 整数部分不为0，要输出个位的值
putchar('.'); // 输出小数点
for (i = -1; !p.d[i+1]; i++); // 记录小数部分最末一个非0值的位置为i
for (j = n*k-1; j > i; j--) // 输出小数
{
if (j > p.len-1) putchar('0'); // 小数部分的前导0
else putchar(p.d[j] + '0');
}
putchar('\n');
}
return 0;
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例题-5：UVA 10494 - If We Were a Child Again
大数除法与取余。
int main()
{
bign a, b;
string t;
while (cin >> a >> t >> b)
{
if (t == "/") cout << a/b << endl;
else cout << a%b << endl;
}
return 0;
} 不用模板的解法，见 误@解。其实，读者从这些不用模板的代码可以看出，其算法本质与使用模板都是一样的，只要掌握高精度的运算方法，万变不离其宗。现场赛中，如果熟悉高精度算法原理，不用模板直接求解当然速度最快。但网络赛或平时练题，还是模板一贴，解起来轻松加愉快。二者各有优势。