2011ACM北京网络预选赛 F Machine scheduling (BUPT 216)

2011ACM北京网络预选赛 F Machine scheduling (BUPT 216)

这题比赛时候过得很纠结……最后还是学长过的……比赛时候脑子可能不够清楚，一直WA……
首先，这个题要分成两个部分解决：
第一部分：从n个东西里面取出r个，每个间距至少为 k （1～K不行，1～K ＋ 1行）
第二部分：将这r个东西分成至多m组，可以有空组
第二部分貌似好久之前搞OI的时候干过……贴过来：

N球放在M个盒子里，求共有多少种放法 但是有3个不同的条件 ：N个球是否相同，M个盒子是否相同，是否允许有盒子空着 球和球 盒和盒 空盒 情况数 有区别 有区别 有空盒 mn 有区别 有区别 无空盒 M！s（n,m） 有区别 无区别 有空盒 S(n,1)+s(n,2)+…+s(n,m),n>=m S(n,1)+s(n,2)+…+s(n,n),n<=m 有区别 无区别 无空盒 S(n,m) 无区别 有区别 有空盒 C(n+m-1,n) 无区别 有区别 无空盒 C(n-1,m-1) 无区别 无区别 有空盒 F(m,n) 无区别 无区别 无空盒 F(m,n-m)

然后，其中的F(m,n)貌似是当时写过的一个DP，S(M,N)是第二类stirling数……
递推公式：

1  int  S( int  n, int  m) {
2       if  (n  ==  m  ||  m  ==   1 )  return   1 ;
3       return  m  *  S(n  -   1 , m)  +  S(n  -   1 , m  -   1 );
4  }

第一部分：可以看作这么一个生成函数的相关问题：由于每个东西之间都隔了>=K－1的一段距离，因此一个可行解可以看作，长度为K，K + 1，K + 2的棍子r － 1个（我们认为每个棍子的头是我们取的点），拼接成长度为Len的一个大段，之后再堵上一个，就是一个Len ＋１的可行解……
而r - 1根棍子，拼成长度为Len 的可行解数目，就是(X^K + X^(K + 1) + X^(K + 2) + .....) ^ (r - 1)，这个多项式，展开之后，X^Len项前面的系数……
不过……由于数据范围，直接搞是不成的……
于是提取，变形：X^(K * (r - 1))  * (1 + X + X^2 + X ^3 +....)^(r - 1)
然后再变形：X^(K * (r - 1))  * (1/(1 - x))^(r - 1)……
然后参照Matrix67大神的日志，展开后面那项：

1/(1-x)^n=1+C(n,1)x^1+C(n+1,2)x^2+C(n+2,3)x^3+...+C(n+k-1,k)x^k+...

我们知道，要求长度为len的可行数目，也就是要X^Len项前面的系数，然后，由于前面提取出来了一个K * (r - 1)，也就是去后面找len - K * (r - 1) 项的系数……
也就是说，令pow = len - K * (r - 1)，答案就是C(r - 1 + pow - 1, pow)……
不过这还没完，因为咱们要拼成的长度是len，而总的长度是N，需要乘上这个长度len的开头位置的可能数……
另外还需要特殊处理：咱们在处理的时候，是先用r - 1个拼接成长度为Len的一个大段，再堵上最后一个……当r == 1需要特判……
代码：

 1  #include  < cstdio >
 2  #include  < cstring >
 3 
 4  typedef  long   long  Long;
 5  const  Long MOD  =   1000000007 ;
 6 
 7  Long F[ 1010 ][ 1010 ];
 8  Long C[ 2010 ][ 2010 ];
 9  Long S( int  n, int  m) {
10       if  (n  ==  m  ||  m  ==   1 )  return  1LL;
11       if  (F[n][m]  >   0 )  return  F[n][m];
12       return  F[n][m]  =  (m  *  S(n  -   1 , m)  %  MOD  +  S(n  -   1 , m  -   1 ))  %  MOD;
13  }
14  void  init() {
15       for  ( int  i  =   0 ; i  <=   2000 ; i ++ ) {
16           for  ( int  j  =   0 ; j  <=  i; j ++ ) {
17               if  (j  ==   0 ) C[i][j]  =   1 ;
18               else  C[i][j]  =  (C[i  -   1 ][j]  +  C[i  -   1 ][j  -   1 ])  %  MOD;
19          }
20      }
21  }
22  int  n,r,k,m;
23 
24  int  main() {
25      memset(F, 0xff , sizeof (F));
26      init();
27       while  (scanf( " %d%d%d%d " , & n, & r, & k, & m)  >   0 ) {
28           if  (r  ==   1 ) {printf( " %d\n " ,n);  continue ;}
29          Long ans  =   0 ;
30           for  ( int  i  =   1 ; i  <=  m  &&  i  <=  r; i ++ ) {
31              ans  =  (ans  +  S(r,i))  %  MOD;
32          }
33          Long tmp  =   0 ;
34           for  ( int  len  =  k  *  (r  -   1 ); len  <  n; len ++ ) {
35               int  left  =  n  -  len;
36               int  pow  =  len  -  k  *  (r  -   1 );
37               //  r > 1 !!
38              tmp  =  (tmp  +  left  *  C[r  -   1   +  pow  -   1 ][pow])  %  MOD;
39          }
40          ans  =  ans  *  tmp  %  MOD;
41          printf( " %lld\n " ,ans);
42      }
43       return   0 ;
44  }