对数在算法题目中的应用

1.对数的性质

(1) a^logab=b

(2) log_aa=1

(3) log_a(M*N)=log_aM+log_aN

(4) log_a(M÷N)=log_aM-log_aN

(5) log_a(Mⁿ)=nlog_aM

(6) log_aM^1/n=log_aM/n

(7) log_ab*log_ba=1

2. 相关题目

(1) 求 N ! (1 <= N <= 5000)中有多少位数字。

若直接求 N ! 的结果，然后再计算有多少位数字，也是可行的，因为是大数阶乘，所以要用数组来计算，会用到大量的乘法除法取余运算，时间空间花费都比较大。

用对数的性质来解这个题是最佳的选择。

首先我们知道 看一个数字有多少位就是看它是10的几次幂，如10¹有2位，10² 有3位。。。

也就是 10^x(k=<x<k+1，k为整数，x为浮点数)，则 10^x的结果就有k+1位数字。

那也就是我们要求log₁₀( N ! )

log₁₀( N ! ) = log₁₀1 + log₁₀2 +  log₁₀3 + ... + log₁₀N

int GetDigitsNumInFactorial(int n)
{
	double d = 0.0;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		d += log10(i);
	return int(d)+1;
}

 (2) 对一个正整数n (n <= 1,000,000,000)和m (m <= 1,000,000,000)输出n的m次方的最左一位数字。

对于这个题目也是，n的范围这么大，肯定也不能直接去求了。还是利用对数来解决。

令x=log₁₀(n^m)=m*log₁₀n，即n^m=10^x。设x的整数部分为a，小数部分为b，n^m=10^a*10^b，对于10的整数次幂10^a，第一位是1，所以，n^m的第一位数取决于10^b。

int GetLeftMostDigitOfMthPower(int n, int m)
{
	double x, a, b;
	x = m * log10(n);
	a = floor(x);
	b = x - a;
	return int(pow(10, b));
}

3. 小结

我们初学编程的人经常只考虑如何快速的实现，而不考虑效率问题，经常随便写个大循环让计算机去跑，认为反正计算机不怕累，这样是不行的，我们应该用算法或数学公式等一切手法来提高程序的效率。

有句话是这么说的，计算机硬件配置再高，速度再快，那都不是给程序员用的，那是为用户服务的，我们程序员无权剥削计算机。