动态规划--双调欧几里得旅行商问题

问题描述： 欧几里得旅行商问题是对平面上给定的n个点确定一条连接各点的最短闭合旅程的问题。如图（a）给出了一个7个点问题的解。这个问题的一般形式是NP完全的，故其解需要多于多项式的时间。

    J.L. Bentley 建议通过只考虑双调旅程(bitonic tour)来简化问题,这种旅程即为从最左点开始，严格地从左到右直至最右点，然后严格地从右到左直至出发点。下图(b)显示了同样的7个点的最短双调路线。在这种情况下，多项式的算法是可能的。事实上，存在确定的最优双调路线的O(n*n)时间的算法。

【动态规划】双调欧几里得旅行商问题
 
注:在一个单位栅格上显示的平面上的七个点。 a)最短闭合路线,长度大约是24.89。这个路线不是双调的。b)相同点的集合上的最短双调闭合路线。长度大约是25.58。

分析：
第一步，先按照每个节点的x坐标进行排序，从左到右标记为1,2,…,n。算法复杂度可以为O(n*log(n))。

第二步， 构建d[i][j]代表从i->1->j的最短路径长度。依据其定义，我们可以知道d[i][j] = d[j][i]。所以我们只计算i>j时的值。（为什么不考虑i==j时的值？因为对于d[n][n]最小的时候，图中必然不存在任意中间节点被走两次。）
构建W[i][j]代表从i到j的直接距离，坐标运算可得。
此时，考虑两种情况：
 1   i>j+1时，此时i只可能和i-1节点相连。假设i可以与其它节点直接相连，那么由于i>j，i-1>j，j不可能成为两次路径中任意一次的端点。所以d[i][j] = d[i-1][j] + W[i][i-1]。
 2   i==j+1时，此时i可能和所有小于i的节点直接相连。所以


第三步，初始值d[2][1] = W[2][1]，两层循环计算d[i][j]。
                          for (int i = 3; i <= n; ++i)
                              for (int j = 1; j < i; ++j)

第四步，计算

所得d[n][n]即为最短双调路线的值。