Zoj 3537 Cake (DP_最优三角形剖分)

题目链接：http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=3537

题目大意：给定n个点的坐标，先问这些点是否能组成一个凸包，如果是凸包，问用不相交的线来切这个凸包使得凸包只由三角形组成，根据costi, j = |xi + xj| * |yi + yj| % p算切线的费用，问最少的切割费用。

解题思路：很经典的最优三角剖分模型加一点计算几何的知识。先判断是否为凸包，这个排个序就好弄，我是让队友写个求凸包函数，返回凸包中的顶点数量再与n比较。这一步处理完之后就是用n-3条直线将凸包切成n-2个三角形。

    

     我们要切的是以1和n为起始点的凸包，由于切线不能相交，那么选择1点和n点必有另外一点S要和它们组成一个三角形，然后凸包被分成三个部分:k0,k1,k2，，然后把k1看成一个以n点S点位起始点的凸包，是不是又可以用相同的方法处理这个凸包呢？答案是肯定，就是这样慢慢地将凸包分成一个个子凸包计算费用，最后再更新到点1和点n为起始点的凸包。

    模拟上面的过程，设Dp[i][j]为以i为起点，j为终点的凸包被切割成一个个小三角形所需要的费用。那么dp[i][j] = min(dp[i][k]+dp[k][j]+cost[i][k]+cost[k][j]),(j >= i+ 3,i+1<=k<=j-1,cost[i][k]为连一条i到k的线的费用)，因为dp[i][j]只表示为以i为起点，j为终点的凸包内部被切割的费用，所以在连线的时候可以加上边界费用而不算重复计算。

测试数据：

3 3
0 0
1 1
0 2

4 100
0 0
1 0
0 1
1 1

4 100
0 0
3 0
0 3
1 1

OutPut:
0
1
I can't cut.

C艹代码：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAX 1000
#define INF 1000000000
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))


struct point{

	int x,y;
}p[MAX];
int cost[MAX][MAX],n,m;
int dp[MAX][MAX];


int abs(int x) {

	return x < 0 ? -x : x;
}
point save[400],temp[400];
int xmult(point p1,point p2,point p0){

	return (p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p2.x-p0.x)*(p1.y-p0.y);
}
bool cmp(const point& a,const point &b){

	if(a.y == b.y)return a.x < b.x;
	return a.y < b.y;
}
int Graham(point *p,int n) {

	int i;
	sort(p,p + n,cmp);
	save[0] = p[0];
	save[1] = p[1];
	int top = 1;
	for(i = 0;i < n; i++){

		while(top && xmult(save[top],p[i],save[top-1]) >= 0)top--;
		save[++top] = p[i];
	}


	int mid = top;
	for(i = n - 2; i >= 0; i--){

		while(top>mid&&xmult(save[top],p[i],save[top-1])>=0)top--;
		save[++top]=p[i];
	}
	return top;
}
int Count(point a,point b) {

	return (abs(a.x + b.x) * abs(a.y+b.y)) % m;
}


int main()
{
	int i,j,k,r,u;
	
	
	while (scanf("%d%d",&n,&m) != EOF) {
		
		for (i = 0; i < n; ++i)
			scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y);
		

		int tot = Graham(p,n);	//求凸包
		if (tot < n) printf("I can't cut.\n");
		else {
			
			memset(cost,0,sizeof(cost));
			for (i = 0; i < n; ++i)
				for (j = i + 2; j < n; ++j)
					cost[i][j] = cost[j][i] = Count(save[i],save[j]);
		
				
			for (i = 0; i < n; ++i) {
		
				for (j = 0; j < n; ++j)
					dp[i][j] = INF;
				dp[i][(i+1)%n] = 0;
			}
			for (i = n - 3; i >= 0; --i)	//注意这三个for循环的顺序
				for (j = i + 2; j < n; ++j) //因为要保证在算dp[i][j]时dp[i][k]和dp[k][j]时已经计算，所以i为逆序，j要升序
					for (k = i + 1; k <= j - 1; ++k)
						dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k][j]+cost[i][k]+cost[k][j]);


			printf("%d\n",dp[0][n-1]);
		}
	}
}

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