动态大系统方法导论（二）

2.5动态大系统的结构分析

2.5.1大系统的机构模型在系统分解中的应用

1.结构模型既能够刻画静态系统，又能刻画动态系统。

静态系统：解方程

动态系统：

2.重视问题的结构性，有助于问题求解。

例如解方程的高斯消元思想。

3.动态系统结构模型和表达方式（因果性）

有向图（Directed Graph）：表示系统中单元之间的直接联系。

邻接矩阵（Adjacency Matrix）：因果关系，一一对应。

以4单元网络为例：

图1 四单元有向图

若第i节点对第j个节点有影响，则在对应邻接矩阵的第i行第j列元素置╳，则邻接矩阵为

定义

其中的非零元表示某单元在2步之内可以影响另一对应单元。类似地：

可见，在3步之内，都不会有元素影响到4号节点。由此引入可达矩阵。

可达矩阵（Reachability Matrix ）

其中n为单元的个数。

典型的结构模型

对角阵：节点只能影响自己

图2 对角阵有向图

三角阵：单向影响（从前往后影响）

图3 三角阵有向图

强连接：是回路的最简单情况

图4 强连接有向图

回路：可多个单元

图5 回路有向图

4.结构模型的分解

给定邻接矩阵A，整理其结构单元，使其具有规范形式。

1.由A计算R，由确定回路，分块调整在A中的位置。

2.把每一分块集结为虚拟单元，构成集结邻接矩阵。

• 置对角元素为0。
• 找出第一个全零行，记为1.删除对应行列。
• 按此步骤继续标号。
• 调整集结邻接矩阵行列，构成下三角形。

3.把集结邻接矩阵每一元素还原为原来的块。

图6 结构模型分解距离

以图6所示的10节点有向图来说明结构模型分解的方法。

首先计算列出关联矩阵A

图7 十节点系统关联矩阵

其次计算，其中，这个9次方可以通过两次平方再乘一次来减小计算量。

图8 十节点系统矩阵

由此发现了系统的回路关系，调整分块在系统中的位置：

1,4,5——1,2,3

2,3,8,9——4,5,6,7

6,7,10——8,9,10

更换顺序后的矩阵如图9所示

图9 调整位置后的矩阵

接下来按照步骤调整大分块的位置，如图10所示

图10 大块轮换示意图

最后再还原成10阶矩阵。

图 11 最终结果

由现在的矩阵结构可知，6、7、10构成的回路系统只出不进；2、3、8、9构成的回路系统只进不出。