经典算法（2）——0/1背包问题（动态规划法）

本博客（ http://blog.csdn.net/livelylittlefish ）贴出作者（三二一、小鱼）相关研究、学习内容所做的笔记，欢迎广大朋友指正！

                       

                       

0/1背包问题

                       

                       

 1. 问题描述

                             

                           

          给定一个载重量为m，n个物品，其重量为w _i，价值为v _i，1<=i<=n，要求:把物品装入背包，并使包内物品价值最大

                                

                             

2. 问题分析

                             

                            

         在0/1背包问题中，物体或者被装入背包，或者不被装入背包，只有两种选择。

                      

         循环变量i，j意义：前i个物品能够装入载重量为j的背包中

         (n+1)*(m+1)数组value意义：value[i][j]表示前i个物品能装入载重量为j的背包中物品的最大价值

         若w[i]>j，第i个物品不装入背包

         否则，若w[i]<=j且第i个物品装入背包后的价值>value[i-1][j]，则记录当前最大价值（替换为第i个物品装入背包后的价值）
          

          计算最大价值的动态规划算法如下：

                             

     // 计算
     for (i = 1 ;i < row;i ++ )
     ... {
        for(j=1;j<col;j++)
        ...{
            //w[i]>j,第i个物品不装入背包
            value[i][j]=value[i-1][j];
            //w[i]<=j,且第i个物品装入背包后的价值>value[i-1][j],则记录当前最大价值
            int temp=value[i-1][j-w[i]]+v[i];
            if(w[i]<=j && temp>value[i][j])
                value[i][j]=temp;
        }
    }

                       

                   

      即该段程序完成以下n个阶段：

     1：只装入1个物品，确定在各种不同载重量的背包下，能够得到的最大价值

     2：装入2个物品，确定在各种不同载重量的背包下，能够得到的最大价值

     。。。

     n：以此类推，装入n个物品，确定在各种不同载重量的背包下，能够得到的最大价值

                       

                     

3. 问题求解

                 

             

      确定装入背包的具体物品，从value[n][m]向前逆推：

           若value[n][m]>value[n-1][m]，则第n个物品被装入背包，且前n-1个物品被装入载重量为m-w[n]的背包中

           否则，第n个物品没有装入背包，且前n-1个物品被装入载重量为m的背包中

      以此类推，直到确定第一个物品是否被装入背包为止。逆推代码如下：

              

     // 逆推求装入的物品
    j = m;
     for (i = row - 1 ;i > 0 ;i -- )
     ... {
        if(value[i][j]>value[i-1][j])
        ...{
            c[i]=1;
            j-=w[i];
        }
    }

                                                     

                          

4. 代码如下

                        

                       

      输入数据及输出数据均在文件中。

      输入数据格式：

            n m

            w ₁ w ₂ ... w _n

            v1 v2 ... vn

      输出数据格式：

           maxValue

           i count            //i表示物品编号，count表示该物品被选中次数

           ...

/**/ /************************************************************************
 * 0/1背包问题求解 (visual studio 2005)
 * 给定一个载重量为m,及n个物品,其重量为wi,价值为vi,1<=i<=n
 * 要求:把物品装入背包,并使包内物品价值最大
 ************************************************************************/

#include  < stdio.h >
#include  < stdlib.h >
#include  < string .h >

#define  FILENAMELENGTH 100

class  CBeibao
... {
public:
    int m_nNumber;        //物品数量
    int m_nMaxWeight;    //最大载重量

    int *m_pWeight;        //每个物品的重量
    int *m_pValue;        //每个物品的价值

    int *m_pCount;        //每个物品被选中的次数
    int m_nMaxValue;    //最大价值

public:
    CBeibao(const char *filename);
    ~CBeibao();
    
    int GetMaxValue();
    int GetMaxValue(int n,int m,int *w,int *v,int *c);
    void Display(int nMaxValue);
    void Display(int nMaxValue,const char *filename);
} ;

// 读入数据
CBeibao::CBeibao( const   char   * filename)
... {
    FILE *fp=fopen(filename,"r");    
    if(fp==NULL)
    ...{
        printf("can not open file!");
        return;    //exit(0);
    }

    //读入物品数量和最大载重量
    fscanf(fp,"%d%d",&m_nNumber,&m_nMaxWeight);

    m_pWeight=new int[m_nNumber+1];
    m_pValue=new int[m_nNumber+1];

    m_pWeight[0]=0;
    //读入每个物品的重量
    for(int i=1;i<=m_nNumber;i++)
        fscanf(fp,"%d",m_pWeight+i);

    m_pValue[0]=0;
    //读入每个物品的价值
    for(int i=1;i<=m_nNumber;i++)
        fscanf(fp,"%d",m_pValue+i);

    //初始化每个物品被选中次数为0
    m_pCount=new int[m_nNumber+1];
    for(int i=0;i<=m_nNumber;i++)
        m_pCount[i]=0;

    fclose(fp);
}

CBeibao:: ~ CBeibao()
... {
    delete[] m_pWeight;
    m_pWeight=NULL;
    delete[] m_pValue;
    m_pValue=NULL;
    delete[] m_pCount;
    m_pCount=NULL;
}

/**/ /************************************************************************
 * 动态规划求出满足最大载重量的最大价值
 * 参数说明：n:物品个数
 *           m:背包载重量
 *           w:重量数组
 *           v:价值数组
 *           c:是否被选中数组
 * 返回值：最大价值
 ************************************************************************/
int  CBeibao::GetMaxValue( int  n, int  m, int   * w, int   * v, int   * c)
... {
    int row=n+1;
    int col=m+1;

    int i,j;    //循环变量:前i个物品能够装入载重量为j的背包中

    //value[i][j]表示前i个物品能装入载重量为j的背包中物品的最大价值
    int **value=new int*[row];
    for(i=0;i<row;i++)
        value[i]=new int[col];

    //初始化第0行
    for(j=0;j<col;j++)
        value[0][j]=0;

    //初始化第0列
    for(i=0;i<row;i++)
        value[i][0]=0;

    //计算
    for(i=1;i<row;i++)
    ...{
        for(j=1;j<col;j++)
        ...{
            //w[i]>j,第i个物品不装入背包
            value[i][j]=value[i-1][j];
            //w[i]<=j,且第i个物品装入背包后的价值>value[i-1][j],则记录当前最大价值
            int temp=value[i-1][j-w[i]]+v[i];
            if(w[i]<=j && temp>value[i][j])
                value[i][j]=temp;
        }
    }

    //逆推求装入的物品
    j=m;
    for(i=row-1;i>0;i--)
    ...{
        if(value[i][j]>value[i-1][j])
        ...{
            c[i]=1;
            j-=w[i];
        }
    }

    //记录最大价值
    int nMaxVlaue=value[row-1][col-1];

    //释放该二维数组
    for(i=0;i<row;i++)
    ...{
        delete [col]value[i];
        value[i]=NULL;
    }
    delete[] value;
    value=NULL;

    return nMaxVlaue;
}

int  CBeibao::GetMaxValue()
... {
    int nValue=GetMaxValue(m_nNumber,m_nMaxWeight,m_pWeight,m_pValue,m_pCount);
    m_nMaxValue=nValue;
    return nValue;
}

// 显示结果
void  CBeibao::Display( int  nMaxValue)
... {
    printf("   %d ",nMaxValue);
    for(int i=1;i<=m_nNumber;i++)
    ...{
        if(m_pCount[i])
            printf("  %d  %d ",i,m_pCount[i]);
    }
    printf(" ");
}

void  CBeibao::Display( int  nMaxValue, const   char   * filename)
... {
    FILE *fp=fopen(filename,"w");    
    if(fp==NULL)
    ...{
        printf("can not write file!");
        return;    //exit(0);
    }

    fprintf(fp,"%d ",nMaxValue);
    for(int i=1;i<=m_nNumber;i++)
    ...{
        if(m_pCount[i])
            fprintf(fp,"%d  %d ",i,m_pCount[i]);
    }
    fclose(fp);
}

// 显示菜单
void  show_menu()
... {
    printf("--------------------------------------------- ");
    printf("input command to test the program ");
    printf("   i or I : input filename to test ");
    printf("   q or Q : quit ");
    printf("--------------------------------------------- ");
    printf("$ input command >");
}

void  main()
... {
    char sinput[10];
    char sfilename[FILENAMELENGTH];

    show_menu();

    scanf("%s",sinput);
    while(stricmp(sinput,"q")!=0)
    ...{
        if(stricmp(sinput,"i")==0)
        ...{
            printf("  please input a filename:");
            scanf("%s",sfilename);

            //获取满足最大载重量的最大价值
            CBeibao beibao(sfilename);
            int nMaxValue=beibao.GetMaxValue();
            if(nMaxValue)
            ...{
                beibao.Display(nMaxValue);
                int nlen=strlen(sfilename);
                strcpy(sfilename+nlen-4,"_result.txt");
                beibao.Display(nMaxValue,sfilename);
            }
            else
                printf("   error! please check the input data! ");
        }

        //输入命令
        printf("$ input command >");
        scanf("%s",sinput);
    }
}

                                      

                                         

5. 运行结果如下

                       

                      

文件中的内容如下：

1. input.txt

        4 10
        2 3 4 7
        1 3 5 9         

                   

    input_result.txt

        12
        2  1
        4  1
                             

2. input1.txt

        5 10
        2 2 6 5 4
        6 3 5 4 6

         

    input1_result.txt

        15
        1  1
        2  1
        5  1
                             

3. input2.txt

        5 15
        2 6 4 7 9
        1 6 5 9 4

         

    input2_result.txt

        16
        1  1
        2  1
        4  1
                             

4. input3.txt

        10 105
        12 16 24 7 29 32 5 43 31 1
        11 16 15 9 24 25 3 32 41 7

         

    input3_result.txt

        112
        1  1
        2  1
        4  1
        6  1
        7  1
        9  1
      10  1