leetcode笔记:Rotate Image

一.题目描述

You are given an n×n 2D matrix representing an image.
Rotate the image by 90 degrees (clockwise).
Follow up: Could you do this in-place?

二.题目分析

由于要求将图像顺时针旋转90度,最简单的做法就是画个图出来观察旋转90度之后的图像的情况,经过分析可知,顺时针旋转90度就是将原来的图像的最后一行作为第一列,倒数第二行作为第二列,因此类推,第一行作为最后一列。如果不考虑in-place条件,我们可以创建一个大小为n×n的一个二维数组来进行复制操作,然后将旋转后的图像拷贝回原来的图像中。这种做法的时间复杂度为O(n^2),空间复杂度为O(n^2)

但是,题目希望能in-place进行,由于无论图像进行什么角度的选择,左上角的点都可以看作坐标系的原点,因此,将一幅图像抽象成3×3的情形,可以从中找出一些规律:

1 2 3
4 5 6
7 8 9

顺时针旋转90度之后的图像的抽象即为:

7 4 1
8 5 2
9 6 3

可以归纳出一种等价的变换:

首先,将矩阵的每个元素沿着沿着主对角线进行交换;

1 2 3 — 1 4 7
4 5 6 -> 2 5 8
7 8 9 — 3 6 9

然后,每列的元素沿着水平中线对称翻转一次,在这里,第一列和第三列关于第二列对称,因此只需将一、三列元素对调,即可得到旋转90度后的结果。

1 4 7 — 7 4 1
2 5 8 -> 8 5 2
3 6 9 — 9 6 3

三.示例代码:

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

class Solution
{
public:
    void turnRightImage(vector<vector<int> >& image)
    {
        int imaSize = image.size();
        // 主对角线以下的元素与主对角线上元素沿着主对角线垂直方向对换
        for (int i = 1; i < imaSize; i++)
        {
            for (int j = i - 1; j >= 0; j--)
                swap(image[i][j], image[j][i]);
        }
        for (int k = 0; k < imaSize / 2; k++)
        {
            for (int l = 0; l < imaSize; l++)
                swap(image[l][k], image[l][imaSize - k - 1]);
        }
    }
};

一个测试结果:

leetcode笔记:Rotate Image_第1张图片

四.小结

这道题要求in-place运算,其实对于此类要求,应该更多考虑转换前后数据/矩阵的关系。根据以上的分析我们知道,将一张图片进行顺时针90度旋转,可等价于将矩阵的每个元素沿着沿着主对角线进行交换,然后沿着水平中线翻转一次,或者先将矩阵元素沿着水平中线翻转一次,然后再沿对角线交换,这样可以做到in-place运行,空间复杂度为O(1)

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