母函数

母函数Generating function详解

在数学中,某个序列的母函数是一种形式幂级数,其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法

母函数可分为很多种,包括普通母函数指数母函数L级数贝尔级数狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题,因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。

这里先给出两句话,不懂的可以等看完这篇文章再回过头来看:

"把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来"

"母函数的思想很简单—就是把离散数列和幂级数一一对应起来,把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系,最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. "

我们首先来看下这个多项式乘法:

母函数_第1张图片









由此可以看出:

1. x的系数是a1,a2,…an的单个组合的全体。

2. x2的系数是a1,a2,…an的两个组合的全体。

………

n. xn的系数是a1,a2,….ann个组合的全体(只有1个)。

由此得到:

 母函数_第2张图片

母函数的定义:

对于序列a0,a1,a2,…构造一函数:

称函数G(x)是序列a0,a1,a2,…的母函数

这里先给出2个例子,等会再结合题目分析:

第一种:

 

有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚,能称出哪几种重量?每种重量各有几种可能方案? 

考虑用母函数来接吻这个问题:

我们假设x表示砝码,x的指数表示砝码的重量,这样:

1个1克的砝码可以用函数1+x表示,

1个2克的砝码可以用函数1+x2表示,

1个3克的砝码可以用函数1+x3表示,

1个4克的砝码可以用函数1+x4表示,

上面这四个式子懂吗?

我们拿1+x2来说,前面已经说过,x表示砝码,x的指数表示重量,即这里就是一个质量为2的砝码,那么前面的1表示什么?1代表重量为2的砝码数量为0个。(理解!)

不知道大家理解没,我们这里结合前面那句话:

"把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来"

1+x2表示了两种情况:1表示质量为2的砝码取0个的情况,x2表示质量为2的砝码取1个的情况。

这里说下各项系数的意义:

在x前面的系数a表示相应质量的砝码取a个,而1就表示相应砝码取0个,这里可不能简单的认为相应砝码取0个就该是0*x2(想下为何?结合数学式子)

所以,前面说的那句话的意义大家可以理解了吧?

几种砝码的组合可以称重的情况,可以用以上几个函数的乘积表示:

(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)

=(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7)

=1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10 

从上面的函数知道:可称出从1克到10克,系数便是方案数。(!!!经典!!!)

    例如右端有2x5 项,即称出5克的方案有2:5=3+2=4+1;同样,6=1+2+3=4+2;10=1+2+3+4。

    故称出6克的方案有2,称出10克的方案有1。

接着上面,接下来是第二种情况:

求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数:

大家把这种情况和第一种比较有何区别?第一种每种是一个,而这里每种是无限的。


以展开后的x4为例,其系数为4,即4拆分成1、2、3之和的拆分数为4;

即 :4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2

这里再引出两个概念整数拆分和拆分数:

 

所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和(相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子,盒子允许空,也允许放多于一个球)。

整数拆分成若干整数的和,办法不一,不同拆分法的总数叫做拆分数

现在以上面的第二种情况每种种类个数无限为例,给出模板


[cpp]  view plain copy print ?
  1. #include<iostream>  
  2. usingnamespace std;  
  3.    
  4. constint _max = 10001;  
  5. //c1是保存各项质量砝码可以组合的数目  
  6. //c2是中间量,保存没一次的情况  
  7. intc1[_max], c2[_max];    
  8. intmain()  
  9. {   //int n,i,j,k;  
  10.     int nNum;  //  
  11.     int i, j, k;  
  12.    
  13.     while(cin >> nNum)  
  14.     {  
  15.        for(i=0; i<=nNum; ++i)   // ---- ① ,(1+x+x^2...)
  16.        {  
  17.            c1[i] = 1;  
  18.            c2[i] = 0;  
  19.        }  
  20.        for(i=2; i<=nNum; ++i)   // ----- ②  (第i个括号)
  21.        {  
  22.    
  23.            for(j=0; j<=nNum; ++j)   // ----- ③  (计算第i个括号与前面的乘积)
  24.               for(k=0; k+j<=nNum; k+=i)  // ---- ④  //大于nNum没有意义,即超过X^(nNum)没意义
  25.               {  
  26.                   c2[j+k] += c1[j];  
  27.               }  
  28.            for(j=0; j<=nNum; ++j)     // ---- ⑤  //把乘积保存下来,因为这是一个连乘
  29.            {  
  30.               c1[j] = c2[j];  
  31.               c2[j] = 0;  
  32.            }  
  33.        }  
  34.        cout << c1[nNum] << endl;  
  35.     }  
  36.     return 0;  
  37. }  
  38.    

跑了一个nNum = 4的结果:

母函数_第3张图片


当nNum = 4时,其实我们要计算这么一个多项式:

G(x)=(1+x+x^2+x^3+x^4)(1+x^2+x^4)(1+x^3)(1+x^4)

i = 2时:计算了(1+x+x^2+x^3+x^4)(1+x^2+x^4),并把结果存在C2中;

                乘法他这么做的:1*(1+x^2+x^4)+x*(1+x^2+x^4)+x^2*(1+x^2+x^4)...

                假如:(1+x^2)(1+x^2+x^4)=1*(1+x^2+x^4)+0*x*(1+x^2+x^4)+1*x^2*(1+x^2+x^4)   (就是没有系数也乘了,只不过乘以后的结果为0,累加的时候,加的0)

i = 3时:计算了(1+x+x^2+x^3+x^4)(1+x^2+x^4)(1+x^3),并把结果存在C2中,当然(1+x+x^2+x^3+x^4)(1+x^2+x^4)这个结果在i=2时已经算出来了;

i = 4时:就可以计算整个表达式的结果了。


我们来解释下上面标志的各个地方:

① 、首先对c1初始化,由第一个表达式(1+x+x2+..xn)初始化,把质量从0到n的所有砝码都初始化为1.

 

② 、 i从2到n遍历,这里i就是指第i个表达式,上面给出的第二种母函数关系式里,每一个括号括起来的就是一个表达式。

 

 

③、j 从0到n遍历,这里j就是只一个表达式里第j个变量,比如在第二个表达式里:(1+x2+x4....)里,第j个就是x2*j.

 

③ k表示的是第j个指数,所以k每次增i(因为第i个表达式的增量是i)。

 

④ 、把c2的值赋给c1,而把c2初始化为0,因为c2每次是从一个表达式中开始的

 

咱们赶快趁热打铁,来几道题目:

(相应题目解析均在相应的代码里分析)

1.  题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028

代码:http://www.wutianqi.com/?p=587

这题大家看看简单不?把上面的模板理解了,这题就是小Case!

 

看看这题:

2.  题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1398

代码:http://www.wutianqi.com/?p=590

要说和前一题的区别,就只需要改2个地方。 在i遍历表达式时(可以参考我的资料---《母函数详解》),把i<=nNum改成了i*i<=nNum,其次在k遍历指数时把k+=i变成了k+=i*i; Ok,说来说去还是套模板~~~

 

3.  题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1085

代码:http://www.wutianqi.com/?p=592

这题终于变化了一点,但是万变不离其中。

大家好好分析下,结合代码就会懂了。

 

4.  题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1171

代码:http://www.wutianqi.com/?p=594

 

 

 

还有一些题目,大家有时间自己做做:

HDOJ:1709,1028、1709、1085、1171、1398、2069、2152

附:

1.在维基百科里讲到了普通母函數、指數母函數、L級數、貝爾級數和狄利克雷級數:

http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%AF%8D%E5%87%BD%E6%95%B0

2.Matrix67大牛那有篇文章:什么是生成函数:

http://www.matrix67.com/blog/archives/120

3.大家可以看看杭电的ACM课件的母函数那篇,我这里的图片以及一些内容都引至那。

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