中国科学院大学2016年数学分析考研试题

来自poorich及@xuzheng3254321.

 

1. ($20'$) 计算极限 $$\bex \lim_{x\to 0}\sex{\frac{e^x+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}{n}}^\frac{1}{x}. \eex$$    

 

2. ($20'$) 求定积分 $$\bex I=\int_0^1 \ln(1+\sqrt{x})\rd x. \eex$$    

 

3. ($15'$) 求二重极限 $$\bex \lim_{x\to \infty\atop y\to\infty} \frac{x+y}{x^2-xy+y^2}. \eex$$    

 

4. ($12'$) $f(x)$ 是 $[a,b]$ 的连续正函数. 求证存在 $\xi\in (a,b)$, 使得 $$\bex \int_a^\xi f(x)\rd x =\int_\xi^b f(x)\rd x =\frac{1}{2}\int_a^b f(x)\rd x. \eex$$    

 

5. ($15'$) 求以下曲面所围立体的体积: $$\bex S_1: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,\quad S_2: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}\quad(z\geq 0). \eex$$    

 

6. ($12'$) $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的连续函数, 且 $f(x)$ 单调递增. 求证: $$\bex \int_a^b tf(t)\rd t\geq \frac{a+b}{2}\int_a^b f(t)\rd t. \eex$$    

 

7. ($12'$) 若数列 $\sed{a_n}$, $\sed{b_n}$ 满足条件:  

(1) $a_1\geq a_2\geq \cdots$, 且 $\dps{\vlm{n}a_n=0}$;

(2) 存在正数 $M$, 对任意的正整数 $n$, 均有 $\dps{\sev{\sum_{k=1}^n b_k}\leq M}$.  

证明级数 $\dps{\vsm{n}a_nb_n}$ 收敛. 

 

8. ($15'$) 设 $0\leq a<b/2$, $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 内可导且 $f(a)=a$, $f(b)=b$.  

(1) 求证: 存在 $\xi\in (a,b)$, 使得 $f(\xi)=b-\xi$;

(2) 若 $a=0$, 求证: 存在 $\al,\be\in (a,b), \al\neq \be$ 使得 $f'(\al)f'(\be)=1$.   

 

9. ($15'$) 求椭圆 $x^2+4y^2=4$ 上的点到直线 $2x+3y=6$ 的最短距离. 

 

10. ($15'$) 半径为 $R$ 的球面 $S$ 的球心在单位球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 上, 求球面 $S$ 在单位球内面积的最大值, 并求出此时的 $R$.