HDOJ 1058 Humble Numbers解题报告【DP】

  
  
  
  

   
   
   
   Humble Numbers
  
  
  
  
题目详见http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1058
 开始拿到这个题目的时候还纠结了半天，英语很差的话这个题是不可能AC的。。而我就是其中之一。。。
 Humber Number不用管它啥意思，就是一类定义的数而已。如果一个数的质因数（素因数）仅仅是2、3、5 or 7的话那就被称为Humber Number。特殊的1也在其列。而且题目给出了前20个Humber Number。1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 25, 27。注意仅仅二字，11包含质因数11，26包含质因数13都不在其列。编写程序求第n个Humble Number。输入输出格式要搞明白。
 OK，搞清了题意，那就来分析一下。这个题的意思很清楚明了，就是给你一个N，求出第N个Humble Number。如何求？一开始我想到遍历，可是觉得很麻烦，估计会很超时。我就想啊，既然是2 3 5 7 ，我用1和他们相加如何？得到了3 4 6 8，这些数肯定是Humble Number。可是如何继续下去呢？用3和2 3 5 7相加？得到 5 6 8 10，还要用4和他们相加？继续下去？感觉很繁琐，就像是一颗树4叉树一样。　　
 所以我放弃了这个思路，又开始想遍历，如果我知道了某个数是不是Humble Number，那我不就可以统计第N个了吗？从1开始遍历，如果i是Humble Number，那我就nums++，知道nums和你给定的N相等我们就求出了。。如何判断一个数是不是Humble Number呢？Humble Number的质因数只能是2 3 5 7 ，被这些数分别整除后结果肯定是1，而且整除次数最多是Number/2.
OK，上代码

#include <iostream>   
using namespace std;

//查看n是不是Humble Number
int IsHumbleNumber(long int n);
    
int main()
{	
	long int nums;
	long int number;
	long int i;
	while(cin>>number)
	{
		if(0==number)
			break;
		nums=0; //初始化  记录有多少个HumbleNumber 
		for(i=1;;i++)
		{
			if(IsHumbleNumber(i))
				nums++;
			if(number==nums)
				break;
		} //此时i的值就是第number个humble number
		//输出格式////
		if((number>=4)&&(number<=20))
			cout<<"The "<<number<<"th humble number is "<<i<<endl; //英语差了这个题别想AC了。。。
		else if(1==(number-(number/10)*10))
			cout<<"The "<<number<<"st humble number is "<<i<<endl;
		else if(2==(number-(number/10)*10))
			cout<<"The "<<number<<"nd humble number is "<<i<<endl;
		else if(3==(number-(number/10)*10))
			cout<<"The "<<number<<"rd humble number is "<<i<<endl;
		else
			cout<<"The "<<number<<"th humble number is "<<i<<endl; 
	}
	return 0;
}


//查看n是不是Humble Number
int IsHumbleNumber(long int n)
{
	//long int num=1; 
	if(n==1)  //1 is Humble Number
		return true;
	long int num=n;
	long int i;
	for(i=1;i<=num/2;i++)
	{
		if(n%2==0)
			n/=2;
		else if(n%3==0)
			n/=3;
		else if(n%5==0)
			n/=5;
		else if(n%7==0)
			n/=7;
	}
	if(n==1)
		return true;
	else
		return false;
}

 提交之后发现超时，时间复杂度是Humber（N），这个N如果是5842，那么Humber（N）=20亿，超时是必然的结果。而且每次给定的N，都要从头来过。这让我想到了数组，用一个数组把所有的全部存起来，会不会好一些呢？
代码

#include <iostream>   
using namespace std;

//查看n是不是Humble Number
int IsHumbleNumber(int n);
int main()
{	
	int nums;
	int number;
	long int i;
	int j;
	long int humble[5843]={0};//0位不用
	for(j=1;j<=5842;j++)
	{
		for(i=humble[j-1]+1;;i++)
		{
			if(IsHumbleNumber(i))
				break;
		} 
		humble[j]=i;//此时i的值就是第j个humble number
	}
	while(cin>>number)
	{
		if(0==number)
			break;

		//输出格式////
		if((number>=4)&&(number<=20))
			cout<<"The "<<number<<"th humble number is "<<humble[number]<<endl; //英语差了这个题别想AC了。。。
		else if(1==(number-(number/10)*10))
			cout<<"The "<<number<<"st humble number is "<<humble[number]<<endl;
		else if(2==(number-(number/10)*10))
			cout<<"The "<<number<<"nd humble number is "<<humble[number]<<endl;
		else if(3==(number-(number/10)*10))
			cout<<"The "<<number<<"rd humble number is "<<humble[number]<<endl;
		else
			cout<<"The "<<number<<"th humble number is "<<humble[number]<<endl; 
	}
	return 0;
}


//查看n是不是Humble Number
int IsHumbleNumber(int n)
{
	//long int num=1; 
	if(n==1)  //1 is Humble Number
		return true;
	int num=n;
	int i;
	for(i=1;i<=num/2;i++)
	{
		if(n%2==0)
			n/=2;
		else if(n%3==0)
			n/=3;
		else if(n%5==0)
			n/=5;
		else if(n%7==0)
			n/=7;
	}
	if(n==1)
		return true;
	else
		return false;
}

 NO，还是超时！因为整个求Humber Number的过程是Humber（5842），也就是20亿，肯定会超时啦。。。所以来说，这个是行不通的。前100个还是很好求的，后面就不行了。
 逼不得已放弃这个思路。看这个20亿，我觉得时间复杂度可不可以是和N相关的和Humber Number没关系，O(N)？可以不？
 想一想开始时候的想法，4叉树，必然有很多相同的节点，那么这就是重叠子问题？而且求第N个Humber Number是和第N-1个Humber Number有关系的？也就是说问题的最优解可以用子问题的最优解来解决，这不是传说中的DP吗？
 OK，有点兴奋，怎么做？如何得到表达式？用第一次的思路，用加不行，可以用乘吗？1*2,1*3,1*5,1*7？得出的结果怎么办？所有的数还要和 2 3  5 7相乘，这不是和用加是一样的吗？绞尽脑汁，终于发现了一点规律了，一开始用1相乘的结果中最小值的就是2，这就是第2个Humber Number。然后呢？如果用2和2 3 5 7 相乘得到最小值是4，唉，不是3啊。可是如果2和2相乘 而3 5 7 还是和1相乘，那最小值不就是3了。YES！这是个规律。此时得到了2  3 ，如果用2和2相乘，3和2相乘，5 7 和1相乘，那么最小值就是4，OK，我发现新大陆了。。
 这个表达式好像就是用2 3 5 7和已经得到的Humber Number相乘啊。
 继续找规律，得到了4，那么如何得到5？3和2相乘，2和3相乘，1和5相乘，1和7相乘最小值就是5。和2 3 5 7 相乘的数就是之前的Humber Number，可是是哪个呢？根据刚才的规律我我们可以判断的是，一开始1，如果这个数和2 3 5 7 中的一个相乘得到的结果是最小值，那么就往后推一个Humber Number，也就是Humber数组的i++。如果有重复的都给他++。
 得到状态转移方程 humble[i]=FMin(humble[p2]*2,humble[p3]*3,humble[p5]*5,humble[p7]*7);
编码

#include <iostream>   
using namespace std;

//求所有的Humble Number
void  HumbleNumber(long int humble[],int n);
long int FMin(long int m,long int n,long int k,long int l);    
int main()
{	
	int nums;
	int number;
	long int humble[5843];
	HumbleNumber(humble,5842);
	while(cin>>number)
	{
		if(0==number)
			break;

		//输出格式////
		if((number>=4)&&(number<=20))
			cout<<"The "<<number<<"th humble number is "<<humble[number]<<"."<<endl; //英语差了这个题别想AC了。。。
		else if(1==(number-(number/10)*10))
			cout<<"The "<<number<<"st humble number is "<<humble[number]<<"."<<endl;
		else if(2==(number-(number/10)*10))
			cout<<"The "<<number<<"nd humble number is "<<humble[number]<<"."<<endl;
		else if(3==(number-(number/10)*10))
			cout<<"The "<<number<<"rd humble number is "<<humble[number]<<"."<<endl;
		else
			cout<<"The "<<number<<"th humble number is "<<humble[number]<<"."<<endl; 
	}
	return 0;
}


//求所有的Humble Number
void  HumbleNumber(long int humble[],int n)
{
	int i;
	int p2,p3,p5,p7;
	p2=p3=p5=p7=1;
	humble[1]=1;
	for(i=2;i<=n;i++)
	{
		humble[i]=FMin(humble[p2]*2,humble[p3]*3,humble[p5]*5,humble[p7]*7);
		if(humble[i]==humble[p2]*2)//不用else if 为了重复的
			p2++;
		if(humble[i]==humble[p3]*3)
			p3++;
		if(humble[i]==humble[p5]*5)
			p5++;
		if(humble[i]==humble[p7]*7)
			p7++;
	}
}

long int FMin(long int m,long int n,long int k,long int l)
{
	long int min1,min2;
	if(m<=n)
		min1=m;
	else
		min1=n;
	if(k<=l)
		min2=k;
	else
		min2=l;
	if(min1<=min2)
		return min1;
	else
		return min2;
}

 时间复杂度是O(N)，就是在5842次就可以全部求出了，然后给定的N就可以O(1),得到结果了。很不错的算法。没有超时，nice！可是结果错误，我那个迷茫啊，彷徨啊。。可是仅仅发现输出结果少了一个尾号”.”，我赶紧添上，又是失败，看来不是这个问题，再说这也该是格式错误的提示啊。。
 最后我查了资料才发现，这个英语真心坑啊，看来不是4-20是th，判断的时候不仅仅是最后一位，还和最后两位有关系啊。。真心跪了。。
最后一次提交！！！

#include <iostream>   
using namespace std;

//求所有的Humble Number
void  HumbleNumber(long int humble[],int n);
long int FMin(long int m,long int n,long int k,long int l);    
int main()
{	
	int nums;
	int number;
	long int humble[5843];
	HumbleNumber(humble,5842);
	while(cin>>number)
	{
		if(0==number)
			break;
		//输出格式////
		if((1==number%10)&&(11!=number%100))
			cout<<"The "<<number<<"st humble number is "<<humble[number]<<"."<<endl;
		else if((2==number%10)&&(12!=number%100))
			cout<<"The "<<number<<"nd humble number is "<<humble[number]<<"."<<endl;
		else if((3==number%10)&&(13!=number%100))
			cout<<"The "<<number<<"rd humble number is "<<humble[number]<<"."<<endl;
		else
			cout<<"The "<<number<<"th humble number is "<<humble[number]<<"."<<endl; 
	}
	return 0;
}


//求所有的Humble Number
void  HumbleNumber(long int humble[],int n)
{
	int i;
	int p2,p3,p5,p7;
	p2=p3=p5=p7=1;
	humble[1]=1;
	for(i=2;i<=n;i++)
	{
		humble[i]=FMin(humble[p2]*2,humble[p3]*3,humble[p5]*5,humble[p7]*7);
		if(humble[i]==humble[p2]*2)//不用else if 为了重复的
			p2++;
		if(humble[i]==humble[p3]*3)
			p3++;
		if(humble[i]==humble[p5]*5)
			p5++;
		if(humble[i]==humble[p7]*7)
			p7++;
	}
}

long int FMin(long int m,long int n,long int k,long int l)
{
	long int min1,min2;
	if(m<=n)
		min1=m;
	else
		min1=n;
	if(k<=l)
		min2=k;
	else
		min2=l;
	if(min1<=min2)
		return min1;
	else
		return min2;
}

成功！！鲜红的Accepted，很有成就感啊。
总的来说这个题是不难的，只要用心去想肯定可以AC，这也算是很简单的DP啦。不得不吐槽的是和英语太有关系了。。。

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