Convolutional Neural Networks for Visual Recognition 7

Two Simple Examples

softmax classifier

后，我们介绍两个简单的例子，一个是线性分类器，一个是神经网络。由于网上的讲义给出的都是代码，我们这里用公式来进行推导。首先看softmax classifier 的例子。给定输入 X∈RN×D ，权值 W∈RD×K ，偏移量 b∈R1×K ，我们可以得到分类器对每个样本的预测分数： f=XW+b ，我们可以用softmax 函数将预测分数转为概率： pi=efi∑jefj ， pi
表示样本属于第 i 类的概率， fi,fj 表示线性函数对样本属于第 i,j 类的预测分数。

我们可以建立如下的loss function：

Li=−log(pyi)=−log⎛⎝efyi∑jefj⎞⎠

L=1N∑iLi+12λ∑k∑lW2k,l

下面我们推导loss对 W,b 的偏导数，我们可以先计算loss对 f 的偏导数，利用链式法则，我们可以得到：

∂Li∂fk=∂Li∂pk∂pk∂fk∂pi∂fk=pi(1−pi)i=k∂pi∂fk=−pipki≠k∂Li∂fk=−1pyi∂pyi∂fk=1N(pk−1{yi=k})

进一步，由 f=XW+b ，可知 ∂f∂W=XT,∂f∂b=1 ，我们可以得到：

ΔW=∂L∂W=1N∂Li∂W+λW=1N∂Li∂p∂p∂f∂f∂W+λWΔb=∂L∂b=1N∂Li∂b=1N∂Li∂p∂p∂f∂f∂bW=W−αΔWb=b−αΔb

Neural Networks

上面介绍的是softmax 分类器，下面我们介绍神经网络。神经网络与softmax分类器类似，只是多了一个隐含层。我们先考虑其前向传递。

f1=XW1+b1h=max(0,f1)f2=hW2+b2pi=ef2i∑jef2jL=1N∑iLi+12λ∑∑w21+12λ∑∑w22

下面我们看如何利用BP对网络中的参数进行更新：

∂L∂f2=1N∂Li∂f2=1N(pk−1{yi=k})ΔW2=∂L∂W2=∂L∂f2⋅h+λW2Δb2=∂L∂b2=∂L∂f2ΔW1=∂L∂W1=∂L∂f2∂f2∂h⋅X+λW1Δb1=∂L∂b1=∂L∂f2∂f2∂h

上面的表达式忽略了矩阵运算里的一些转置，实际编写代码的时候需要注意这一点，最后，我们可以得到如下的参数更新表达式：

W1=W2−αΔW2b1=b2−αΔb2W1=W1−αΔW1b1=b1−αΔb1

还有一点，上式的N表示训练集里的样本总数，如果我们要用batch模型，那么可以将整个训练集分成若干个batch，那么此时的N就是每个batch的样本数。

Reference

http://cs231n.stanford.edu/