编程之美之2.7 最大公约数问题

问题：

求两个数的最大公约数

解法一：

欧几里得辗转相除法：

f(x,y) = GCD(x,y), 取k = x / y, b = x % y,则：x = k*y + b;
如果一个数能整除x,y,则它也能整除b,y； 而且能整除b,y的数必能整除x,y，即x,y和b,y的公约数是相同的，其最大公约数也是相同的，即f(x,y) = f(y ,x % y) (x>=y>0)

例如，计算a = 1071和b = 462的最大公约数的过程如下：从1071中不断减去462直到小于462（可以减2次，即商q0 = 2），余数是147：
1071 = 2 × 462 + 147.
然后从462中不断减去147直到小于147（可以减3次，即q1 = 3），余数是21：
462 = 3 × 147 + 21.
再从147中不断减去21直到小于21（可以减7次，即q2 = 7），没有余数：
147 = 7 × 21 + 0.
此时，余数是0，所以1071和462的最大公约数是21

递归算法：

 #include<stdio.h>

 //递归形式
 int GCD(int a,int b)
 {
     if(b == 0){
         return a;
     }
     else{
         //a,b和b,a%b有相同的最大公约数
         return GCD(b,a%b);
     }

 }

 int main(){
     int a,b;
     scanf("%d %d",&a,&b);
     printf("%d\n",GCD(a,b));
 }

例如GCD(1071, 462)的计算过程是：

函数的第一次调用计算GCD(462, 1071 mod 462) = GCD(462, 147)；

下一次调用计算           GCD(147, 462 mod 147) = GCD(147, 21)，

在接下来是                   GCD(21, 147 mod 21) = GCD(21, 0) = 21。

非递归算法：

 #include<stdio.h>

 //非递归形式
 int GCD(int a,int b)
 {
     int temp = a;
     while(b){
         a = b;
         b = temp % b;
     }
     return a;
 }

 int main(){
     int a,b;
     scanf("%d %d",&a,&b);
     printf("%d\n",GCD(a,b));
 }

解法二：

在解法一中我们用到了取模运算。在大整数中取模运算（涉及到除法运算）是非常高贵的开销。

我们想想避免用取模运算。

类似前面的分析，一个数能整除x,y则必能同时整除x - y，y。能同时整除x - y,y 则必能同时整除x，y。即x,y的公约数和x-y,y的公约数是一样的，其最大公约数也是一样的。

 #include<stdio.h>

 int GCD(int a,int b)
 {
     //如果a < b
     if(a < b){
         return GCD(b,a);
     }
     if(b == 0){
         return a;
     }
     else{
         return GCD(a - b,b);
     }
 }

 int main(){
     int a,b;
     scanf("%d %d",&a,&b);
     printf("%d\n",GCD(a,b));
 }

此解法用减法而不是除法，这样迭代的次数比除法要多，当遇到f(10000000,1)的情况时这不是一个好方法。

解法三：

分析：

对于x,y,如果y = k * y1,x = k * x1,则f(y,x) = K*f(x1,y1)；

如果x = p * x1, 假设p是素数，且 y % p != 0 ,即y不能被p整除，则f(x,y) = f(x1,y).

可以利用上面两点进行改进。因为2是素数，同时对于二进制表示的大整数而言可以很容易的将除以2和乘以2的算法转换为移位运算，从而避免大整数除法。

可以充分利用2进行分析：
若x,y都为偶数（2肯定是公约数），则f(x,y) = 2*f(x / 2,y / 2) = 2*f(x>>1,y>>1);
若x为偶数，y为奇数(2肯定不是公约数),则f(x,y) = f(x / 2, y / 2) = f(x>>1, y)
若x为奇数，y为偶数2肯定不是公约数)，则f(x,y)= f(x, y / 2) = f(x, y>>1)
若x,y都为奇数（2肯定不是公约数），则f(x,y) = f(y, x-y)    (x-y肯定为偶数) = f（y, (x-y)/2）

 #include<stdio.h>
 //判断奇偶性
 int IsEvenOdd(int n){
     if(n % 2 == 0){
         return 1;
     }
     else{
         return 0;
     }
 }

 int GCD(int a,int b)
 {
     //如果a < b
     if(a < b){
         return GCD(b,a);
     }
     if(b == 0){
         return a;
     }
     //若x,y都为偶数
     if(IsEvenOdd(a) == 1 && IsEvenOdd(b) == 1){
         return 2 * GCD(a>>1,b>>1);
     }
     //若x,y都为奇数
     else if(IsEvenOdd(a) == 0 && IsEvenOdd(b) == 0){
         return GCD(b,a-b);
     }
     //若x是偶数y是奇数
     else if(IsEvenOdd(a) == 1 && IsEvenOdd(b) == 0){
         return GCD(a>>1,b);
     }
     //若x是奇数y是偶数
     else{
         return GCD(a,b>>1);
     }
 }

 int main(){
     int a,b;
     scanf("%d %d",&a,&b);
     printf("%d\n",GCD(a,b));
 }

这个算法的好处就是用移位操作来代替除法操作，大大节约时间。