[置顶] 高斯消元专题

由于老师的讲课,我又重拾高斯消元,做了一天的高斯,感觉老师讲得很好,模板也不错,我懒得自己写,就把同僚的模板拿过来用了,反正基本原理都懂了。

http://poj.org/problem?id=1222

高斯消元模板题,只有唯一解。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int maxn=30;
int a[maxn][maxn+1],x[maxn];
int equ,var,free_num;
void Debug()
{
   for(int i=0;i<equ;i++)
   {
      for(int j=0;j<var+1;j++)
        cout<<a[i][j]<<" ";
      cout<<endl;
   }
}
int gcd(int a,int b)
{
     if(a<0) return gcd(-a,b);
     if(b<0) return gcd(a,-b);
     return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int Gauss()
{
    int k,col=0;
    for(k=0;k<equ&&col<var;k++,col++)
    {
        int mx=k;
        for(int i=k+1;i<equ;i++)
          if(a[i][col]>a[mx][col]) mx=i;
        if(mx!=k)
           for(int i=k;i<var+1;i++)  swap(a[k][i],a[mx][i]);
        if(!a[k][col]) { k--;continue; }
        for(int i=k+1;i<equ;i++)
           if(a[i][col]!=0)
           {
               int lcm=a[k][col]/gcd(a[k][col],a[i][col])*a[i][col];
               int ta=lcm/a[i][col],tb=lcm/a[k][col];
               if(a[i][col]*a[k][col] < 0)  tb = -tb;
               for(int j=col;j<var+1;j++)
                 a[i][j]=((a[i][j]*ta)%2 - (a[k][j]*tb)%2+2)%2;
           }
     }
    // Debug();
     //cout<<col<<endl<<endl;
     for(int i=k;i<equ;i++)
        if(a[i][var]) return -1;
     for(int i=0,j;i<equ;i++)
         if(!a[i][i])
         {
              for(j=i+1;j<var;j++)
                 if(a[i][j]) break;
              if(j>=var) break;
              for(int r=0;r<equ;r++) swap(a[r][i],a[r][j]);
         }

         //唯一解
      for(int i=k-1;i>=0;i--)
      {
          int tmp=a[i][var]%2;
          for(int j=i+1;j<var+1;j++)
             if(a[i][j]) tmp=(tmp-a[i][j]*x[j]%2+2)%2;
          x[i]=(tmp/a[i][i])%2;
      }
}
void init()
{
     memset(a,0,sizeof(a));
     memset(x,0,sizeof(x));
     for(int i=0;i<5;i++)
     for(int j=0;j<6;j++)
      {
           if(i!=0) a[i*6+j][(i-1)*6+j]=1;
           if(i!=4) a[i*6+j][(i+1)*6+j]=1;
           if(j!=0) a[i*6+j][i*6+j-1]=1;
           if(j!=5) a[i*6+j][i*6+j+1]=1;
           a[i*6+j][i*6+j]=1;
      }
}
int main(int argc, char *argv[])
{
    int T,ca=1;
    scanf("%d",&T);
    equ=30,var=30;
    while(T--)
    {
        init();
        for(int i=0;i<30;i++) scanf("%d",&a[i][30]);
        Gauss();
        printf("PUZZLE #%d\n",ca++);
        for(int i=0;i<30;i++)
        {
            if(i%6!=0) putchar(' ');
            printf("%d",x[i]);
            if(i%6==5) puts("");
        }
    }
    return EXIT_SUCCESS;
}

 

fzu1704  http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1704

求解的个数,+高精

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <memory.h>
using namespace std;
const int maxn=110;
const int inf=0x3fffffff;
int a[maxn][maxn+1];
int equ,var,free_num;
int n,m;
inline int gcd(int a,int b)
{
     return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int LCM(int a,int b)
{
    return (a/gcd(a,b))*b;
}
void multi(int x)
{
    int str[40];
    memset(str,0,sizeof(str));
    str[0]=1;
    int c=1;
    for(int i=1;i<=x;i++)
    {
        int g=0;
        for(int j=0;j<c;j++)
        {
            str[j]=str[j]*2+g;
            g=str[j]/10;
            str[j]=str[j]%10;
        }
        if(g!=0) str[c++]=g;
    }
    for(int i=c-1;i>=0;i--)
    cout<<str[i];
    puts("");
}
void Gauss()
{
    int k,col=0;
    for(k=0;k<equ&&col<var;k++,col++)
    {
        int mx=k;
        for(int i=k+1;i<equ;i++)
          if(a[i][col]>a[mx][col]) mx=i;
        if(mx!=k)
           for(int i=k;i<var+1;i++)  swap(a[k][i],a[mx][i]);
        if(a[k][col]==0) { k--;continue; }
        for(int i=k+1;i<equ;i++)
           if(a[i][col]!=0)
           {
               int lcm=LCM(a[i][col],a[k][col]);
               int ta=lcm/a[i][col],tb=lcm/a[k][col];
               if(a[i][col]*a[k][col] < 0)  tb = -tb;
               for(int j=col;j<var+1;j++)
                 a[i][j]=((a[i][j]*ta)%2 - (a[k][j]*tb)%2+2)%2;
           }
     }

     for(int i=k;i<equ;i++)
        if(a[i][col]!=0) {puts("0");return ;}
    multi(var-k);
}
int main()
{
    int t,count=1;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&equ,&var);
        memset(a,0,sizeof(a));
        for(int i=0;i<equ;i++)
        scanf("%d",&a[i][var]);
        for(int i=0;i<var;i++)
        {
            int u,v;
            scanf("%d",&u);
            while(u--)
            {
                scanf("%d",&v);
                v--;
                a[v][i]=1;
            }
        }
        Gauss();
    }
    return EXIT_SUCCESS;
}



hdu3364求多少组解http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3364

 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int maxn=51;
const int inf=0x3fffffff;
int a[maxn][maxn+1],b[maxn][maxn+1];
int equ,var,free_num;
int n,m;
int gcd(int a,int b)
{
     if(a<0) return gcd(-a,b);
     if(b<0) return gcd(a,-b);
     return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
void Gauss()
{
    int k,col=0;
    for(k=0;k<equ&&col<var;k++,col++)
    {
        int mx=k;
        for(int i=k+1;i<equ;i++)
          if(a[i][col]>a[mx][col]) mx=i;
        if(mx!=k)
           for(int i=k;i<var+1;i++)  swap(a[k][i],a[mx][i]);
        if(!a[k][col]) { k--;continue; }
        for(int i=k+1;i<equ;i++)
           if(a[i][col]!=0)
           {
               int lcm=a[k][col]/gcd(a[k][col],a[i][col])*a[i][col];
               int ta=lcm/a[i][col],tb=lcm/a[k][col];
               if(a[i][col]*a[k][col] < 0)  tb = -tb;
               for(int j=col;j<var+1;j++)
                 a[i][j]=((a[i][j]*ta)%2 - (a[k][j]*tb)%2+2)%2;
           }
     }

     for(int i=k;i<equ;i++)
        if(a[i][col]) {puts("0");return ;}
    printf("%I64d\n",1LL<<(var-k));

}
int main()
{
    int t,count=1;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&equ,&var);
        memset(b,0,sizeof(b));
        for(int i=0;i<var;i++)
        {
            int q;
            scanf("%d",&q);
            while(q--)
            {
                int num;
                scanf("%d",&num);
                num--;
                b[num][i]=1;
            }
        }
        printf("Case %d:\n",count++);
        int q;
        scanf("%d",&q);
        while(q--)
        {
         memcpy(a,b,sizeof(b));
         for(int i=0;i<equ;i++)
         scanf("%d",&a[i][var]);
         Gauss();
        }
    }
    //system("pause");
    return EXIT_SUCCESS;
}



 


http://poj.org/problem?id=1681

动最少的砖,枚举自由元,找1的个数最少的那组解。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <stdio.h>
using namespace std;
const int inf=0x3fffffff;

const int maxn=15*15;
int a[maxn][maxn+1],x[maxn],equ,var,n;
 char s[20][20];

void init()
{
    equ=var=n*n;
    for(int i=0;i<n;i++)
       scanf("%s",s[i]);
    memset(a,0,sizeof(a));
    for(int i=0;i<var;i++) a[i][var]= (s[i/n][i%n]!='y'),a[i][i]=1;
    for(int i=0;i<n;i++)
    for(int j=0;j<n;j++)
    {
       /* if(i!=0) a[(i-1)*n+j][i*n+j]=1;
        if(i!=n-1) a[(i+1)*n+j][i*n+j]=1;
        if(j!=0) a[i*n+j-1][i*n+j]=1;
        if(j!=n-1) a[i*n+j+1][i*n+j]=1;*/
             if(i-1>=0) a[i*n+j][(i-1)*n+j]=1;
             if(i+1<n) a[i*n+j][(i+1)*n+j]=1;
             if(j-1>=0) a[i*n+j][i*n+j-1]=1;
             if(j+1<n) a[i*n+j][i*n+j+1]=1;
    }
}
void debug()
{
    for(int i=0;i<equ;i++)
    {
        for(int j=0;j<=var;j++)
          cout<<a[i][j]<<" ";
        cout<<endl;
    }
    cout<<endl;
}
int gcd(int a,int b)
{
    if(a<0) return gcd(-a,b);
    if(b<0) return gcd(a,-b);
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

int gauss()
{
    int k,col;
    for(k=col=0;k<equ&&col<var;k++,col++)
    {
        int mx=k;
        for(int i=k+1;i<equ;i++)
           if(a[i][col]>a[mx][col]) mx=i;
        if(k!=mx){
            for(int i=k;i<var+1;i++)
               swap(a[k][i],a[mx][i]);
        }
        if(!a[k][col]){
            k--;continue;
        }
        for(int i=k+1;i<equ;i++)
        if(a[i][col])
        {
            int lcm=a[k][col]/gcd(a[k][col],a[i][col])*a[i][col];
            int ta=lcm/a[i][col],tb=lcm/a[k][col];
            for(int j=col;j<var+1;j++)
               a[i][j]=((a[i][j]*ta-a[k][j]*tb)%2+2)%2;
        }
    }
   // debug();
    for(int i=k;i<equ;i++)
      if(a[i][col]) return inf;

    for(int i=0,j;i<equ;i++)
       if(!a[i][i])
       {
           for(j=i+1;j<var;j++)
             if(a[i][j]) break;
           if(j>=var) break;
           for(int r=0;r<equ;r++) swap(a[r][i],a[r][j]);
       }

 /*   int ret=inf,lim= (1<<(var-k));

   for(int j=0;j<lim;j++)
   {
     for(int i=0;i<(var-k);i++)
       if(j&(1<<i)) x[equ-1-i]=1;
       else x[equ-1-i]=0;
     for(int i=k-1;i>=0;i--)
     {
        int tmp=a[i][var];
        for(int j=i+1;j<var;j++)
          tmp=((tmp-a[i][j]*x[j])%2+2)%2;
        x[i]=tmp/a[i][i]%2;
     }
     int cnt=0;
     for(int i=0;i<var;i++)
        if(x[i]) cnt++;
     ret=min(cnt,ret);
     if(ret==0) break;
   }*/     // 二进制枚举
     int Min=inf;
     for(int j=0;j<(1<<(equ-k));j++)
     {
        int tmp=j,p=equ-1;
        while(tmp) x[p--]=tmp%2,tmp>>=1;
        for(int i=k-1;i>=0;i--)
        {
          int tmp=a[i][var]%2;
          for(int j=i+1;j<var;j++)
             if(a[i][j]) tmp=(tmp-a[i][j]*x[j]%2+2)%2;
          x[i]=(tmp/a[i][i])%2;
        }
        tmp=0;
        for(int i=0;i<var;i++) tmp+=x[i];
        Min=min(Min,tmp);
        if(Min==0)
        break;
     }   //全部枚举
   return Min;
}
int main()
{
    int T;

    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        init();
       // debug();
        int re=gauss();
        //cout<<re<<endl;
        if(re==inf) puts("inf");
        else printf("%d\n",re);
    }

    return 0;
}


http://poj.org/problem?id=1753

同上,不贴代码了

http://poj.org/problem?id=3185

没什么特别的

http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemId=3858

枚举四种图案,没什么特别的

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4200

连动题

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int maxn=101;
const int inf=0x3fffffff;
int a[maxn][maxn+1],x[maxn];
int equ,var,free_num;
int n,m;
int gcd(int a,int b)
{
     if(a<0) return gcd(-a,b);
     if(b<0) return gcd(a,-b);
     return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int Gauss()
{
    int k,col=0;
    for(k=0;k<equ&&col<var;k++,col++)
    {
        int mx=k;
        for(int i=k+1;i<equ;i++)
          if(a[i][col]>a[mx][col]) mx=i;
        if(mx!=k)
           for(int i=k;i<var+1;i++)  swap(a[k][i],a[mx][i]);
        if(!a[k][col]) { k--;continue; }
        for(int i=k+1;i<equ;i++)
           if(a[i][col]!=0)
           {
               int lcm=a[k][col]/gcd(a[k][col],a[i][col])*a[i][col];
               int ta=lcm/a[i][col],tb=lcm/a[k][col];
               if(a[i][col]*a[k][col] < 0)  tb = -tb;
               for(int j=col;j<var+1;j++)
                 a[i][j]=((a[i][j]*ta)%2 - (a[k][j]*tb)%2+2)%2;
           }
     }

     for(int i=k;i<equ;i++)
        if(a[i][var]) return inf;
     for(int i=0,j;i<equ;i++)
         if(!a[i][i])
         {
              for(j=i+1;j<var;j++)
                 if(a[i][j]) break;
              if(var==j) break;
              for(int r=0;r<equ;r++) swap(a[r][i],a[r][j]);
         }

     int ret=inf;
     long long lim= (1<<(var-k));

   for(long long  j=0;j<lim;j++)
   {
     for(int i=0;i<(var-k);i++)
       if(j&(1<<i)) x[equ-1-i]=1;
       else x[equ-1-i]=0;
     for(int i=k-1;i>=0;i--)
     {
        int tmp=a[i][var];
        for(int j=i+1;j<var;j++)
          tmp=((tmp-a[i][j]*x[j])%2+2)%2;
        x[i]=tmp/a[i][i]%2;
     }
     int cnt=0;
     for(int i=0;i<var;i++)
        if(x[i]) cnt++;
     ret=min(cnt,ret);
     if(ret==0) break;
   }

     return ret;
}
void  init()
{
     memset(a,0,sizeof(a));
     memset(x,0,sizeof(x));
     for(int i=0;i<n;i++)
     {
         scanf("%d",&a[i][var]);
         a[i][i]=1;
     }
     for(int i=0;i<n;i++)
     {
         int p,q;
        if(i-m>=0) p=i-m;else p=0;
        if(i+m<n) q=i+m;else q=n-1;
        for(int j=p;j<=q;j++)
           a[j][i]=1;
     }
     return ;
}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        //cout<<"*"<<endl;
        equ=n;var=n;
        init();
        int ans=Gauss();
        if(ans==inf) puts("impossible");
        else printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}


http://poj.org/problem?id=2947

同余题

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int maxn=301;
const int inf=0x3fffffff;
int a[maxn][maxn+1],x[maxn];
int equ,var,free_num;
char str[8][4]={"MON","TUE","WED","THU","FRI","SAT","SUN"};
__int64 exGcd(__int64 a,__int64 b, __int64 &xx, __int64 &yy)
{
       if(b == 0)
       {
       xx = 1;
       yy = 0;
       return a;
       }
       __int64 r = exGcd(b, a % b, xx, yy);
       __int64 t = xx;
       xx = yy;
       yy = t - a / b * yy;
    return r;
}
int gcd(int a,int b)
{
     if(a<0) return gcd(-a,b);
     if(b<0) return gcd(a,-b);
     return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
void Gauss()
{

    int k,col=0;
    __int64 xx,yy;
    for(k=0;k<equ&&col<var;k++,col++)
    {
        int mx=k;
        for(int i=k+1;i<equ;i++)
          if(abs(a[i][col])>abs(a[mx][col])) mx=i;
        if(mx!=k)
           for(int i=k;i<var+1;i++)  swap(a[k][i],a[mx][i]);
        if(!a[k][col]) { k--;continue; }
        for(int i=k+1;i<equ;i++)
           if(a[i][col]!=0)
           {
               int lcm=a[k][col]/gcd(a[k][col],a[i][col])*a[i][col];
               int ta=lcm/a[i][col],tb=lcm/a[k][col];
               if(a[i][col]*a[k][col] < 0)  tb = -tb;
               for(int j=col;j<var+1;j++)
                 a[i][j]=((a[i][j]*ta)%7 - (a[k][j]*tb)%7+7)%7;
           }
     }
     for(int i=k;i<equ;i++)
        if(a[i][col]!=0) {puts("Inconsistent data.");return ;}
        if(var>k){puts("Multiple solutions.");return ;}
    for(int i=0,j;i<equ;i++)
         if(a[i][i]==0)
         {
              for(j=i+1;j<var;j++)
                 if(a[i][j]) break;
              //if(var==j) break;
              if(j>=var) break;
              for(int r=0;r<equ;r++) swap(a[r][i],a[r][j]);
         }

      for(int i=k-1;i>=0;i--)
      {
          int tmp=a[i][var]%7;
          for(int j=i+1;j<var;j++)
          if(a[i][j]) tmp=(tmp-a[i][j]*x[j]%7+7)%7;
       __int64 d=exGcd(a[i][i],7,xx,yy);
       if(tmp%d!=0){puts("Inconsistent data.");return ;}
       else{
              x[i]=tmp/d*xx%7+7;
              x[i]=x[i]%(7/d);
            }
            while(x[i]<3) x[i]=x[i]+7;
      }

      for(int i=0;i<var;i++)
      {
          if(i==0) cout<<x[i];
          else cout<<" "<<x[i];
      }
      puts("");

}


void  init()
{
     memset(a,0,sizeof(a));
     memset(x,0,sizeof(x));
     int d;
     char s1[4],s2[4];
     for(int i=0;i<equ;i++)
     {
         scanf("%d%s%s",&d,s1,s2);
         int q1,q2;
         for(int j=0;j<8;j++)
         if(!strcmp(s1,str[j])){q1=j;break;}
         for(int j=0;j<8;j++)
         if(!strcmp(s2,str[j])){q2=j;break;}
         while(d--)
         {
             int num;
             scanf("%d",&num); num--;a[i][num]++;
             a[i][num]%=7;
         }
         a[i][var]=(q2-q1+1+7)%7;
     }
     return ;
}
int main()
{
    while(scanf("%d%d",&var,&equ)!=EOF)
    {
        if(var==0&&equ==0) break;
        init();
        Gauss();
    }
    return 0;
}


http://poj.org/problem?id=2065

题目大意:给你一个素数P(P<=30000)和一串长为n的字符串str[]。字母'*'代表0,字母a-z分别代表1-26,这n个字符所代表的数字分别代表f(1)、f(2)....f(n)。
定义: f (k) = ∑0<=i<=n-1aiki (mod p) (1<=k<=n,0<=ai<P)
求a0、a1.....an-1。题目保证肯定有唯一解

解题思路:高斯消元。根据上面的公式显然可以列出有n个未知数的n个方程式:
a0*1^0 + a1*1^1+a2*1^2+........+an-1*1^(n-1) = f(1)
a0*2^0 + a1*2^1+a2*2^2+........+an-1*2^(n-1) = f(2)
..............
a0*n^0 + a1*n^1+a2*n^2+........+an-1*n^(n-1) = f(n)

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <math.h>
using namespace std;
const int maxn=71;
const int inf=0x3fffffff;
int a[maxn][maxn+1],x[maxn];
int equ,var,p;
__int64 exGcd(__int64 a,__int64 b, __int64 &xx, __int64 &yy)
{
       if(b == 0)
       {
       xx = 1;
       yy = 0;
       return a;
       }
       __int64 r = exGcd(b, a % b, xx, yy);
       __int64 t = xx;
       xx = yy;
       yy = t - a / b * yy;
    return r;
}
inline int gcd(int a,int b)
{
     return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int LCM(int a,int b)
{
    return (a/gcd(a,b))*b;
}
void Gauss()
{

    int k,col=0;
    __int64 xx,yy;
    for(k=0;k<equ&&col<var;k++,col++)
    {
        int mx=k;
        for(int i=k+1;i<equ;i++)
          if(abs(a[i][col])>abs(a[mx][col])) mx=i;
        if(mx!=k)
           for(int i=k;i<var+1;i++)  swap(a[k][i],a[mx][i]);
        if(a[k][col]==0) { k--;continue; }
        for(int i=k+1;i<equ;i++)
           if(a[i][col]!=0)
           {
               int lcm=LCM(a[i][col],a[k][col]);
               int ta=lcm/a[i][col],tb=lcm/a[k][col];
               if(a[i][col]*a[k][col] < 0)  tb = -tb;
               for(int j=col;j<var+1;j++)
                 a[i][j]=((a[i][j]*ta)%p - (a[k][j]*tb)%p+p)%p;
           }
     }

      for(int i=0,j;i<equ;i++)
         if(a[i][i]==0)
         {
              for(j=i+1;j<var;j++)
                 if(a[i][j]!=0) break;
              if(j>=var) break;
              for(int r=0;r<equ;r++) swap(a[r][i],a[r][j]);
         }

      for(int i=k-1;i>=0;i--)
      {
          int tmp=a[i][var]%p;
          for(int j=i+1;j<var;j++)
          if(a[i][j]) tmp=(tmp-a[i][j]*x[j]%p+p)%p;
          __int64 d=exGcd(a[i][i],p,xx,yy);

              x[i]=tmp/d*xx%p+p;
              x[i]=x[i]%(p/d);
      }

      for(int i=0;i<var;i++)
      {
          if(i==0) cout<<x[i];
          else cout<<" "<<x[i];
      }
      puts("");

}

char s[71];
void  init()
{
     memset(a,0,sizeof(a));
     memset(x,0,sizeof(x));
     scanf("%s",s);
     equ=var=strlen(s);
     for(int i=0;i<equ;i++)
     {
         if(s[i]=='*') a[i][var]=0;
         else a[i][var]=s[i]-'a'+1;
         a[i][var]%=p;
     }
     for(int i=0;i<equ;i++)
     {
         int tt=1;
         for(int j=0;j<var;j++)
       {
         a[i][j]=tt;
         tt*=(i+1);tt%=p;

       }
     }
     return ;
}

int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&p);
        init();
        Gauss();
    }
    return 0;
}





 

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