[置顶] 高斯消元专题
由于老师的讲课，我又重拾高斯消元，做了一天的高斯，感觉老师讲得很好，模板也不错，我懒得自己写，就把同僚的模板拿过来用了，反正基本原理都懂了。
http://poj.org/problem?id=1222
高斯消元模板题，只有唯一解。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=30;
int a[maxn][maxn+1],x[maxn];
int equ,var,free_num;
void Debug()
{
for(int i=0;i<equ;i++)
{
for(int j=0;j<var+1;j++)
cout<<a[i][j]<<" ";
cout<<endl;
}
}
int gcd(int a,int b)
{
if(a<0) return gcd(-a,b);
if(b<0) return gcd(a,-b);
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int Gauss()
{
int k,col=0;
for(k=0;k<equ&&col<var;k++,col++)
{
int mx=k;
for(int i=k+1;i<equ;i++)
if(a[i][col]>a[mx][col]) mx=i;
if(mx!=k)
for(int i=k;i<var+1;i++) swap(a[k][i],a[mx][i]);
if(!a[k][col]) { k--;continue; }
for(int i=k+1;i<equ;i++)
if(a[i][col]!=0)
{
int lcm=a[k][col]/gcd(a[k][col],a[i][col])*a[i][col];
int ta=lcm/a[i][col],tb=lcm/a[k][col];
if(a[i][col]*a[k][col] < 0) tb = -tb;
for(int j=col;j<var+1;j++)
a[i][j]=((a[i][j]*ta)%2 - (a[k][j]*tb)%2+2)%2;
}
}
// Debug();
//cout<<col<<endl<<endl;
for(int i=k;i<equ;i++)
if(a[i][var]) return -1;
for(int i=0,j;i<equ;i++)
if(!a[i][i])
{
for(j=i+1;j<var;j++)
if(a[i][j]) break;
if(j>=var) break;
for(int r=0;r<equ;r++) swap(a[r][i],a[r][j]);
}
//唯一解
for(int i=k-1;i>=0;i--)
{
int tmp=a[i][var]%2;
for(int j=i+1;j<var+1;j++)
if(a[i][j]) tmp=(tmp-a[i][j]*x[j]%2+2)%2;
x[i]=(tmp/a[i][i])%2;
}
}
void init()
{
memset(a,0,sizeof(a));
memset(x,0,sizeof(x));
for(int i=0;i<5;i++)
for(int j=0;j<6;j++)
{
if(i!=0) a[i*6+j][(i-1)*6+j]=1;
if(i!=4) a[i*6+j][(i+1)*6+j]=1;
if(j!=0) a[i*6+j][i*6+j-1]=1;
if(j!=5) a[i*6+j][i*6+j+1]=1;
a[i*6+j][i*6+j]=1;
}
}
int main(int argc, char *argv[])
{
int T,ca=1;
scanf("%d",&T);
equ=30,var=30;
while(T--)
{
init();
for(int i=0;i<30;i++) scanf("%d",&a[i][30]);
Gauss();
printf("PUZZLE #%d\n",ca++);
for(int i=0;i<30;i++)
{
if(i%6!=0) putchar(' ');
printf("%d",x[i]);
if(i%6==5) puts("");
}
}
return EXIT_SUCCESS;
}
fzu1704 http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1704
求解的个数，+高精
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <memory.h>
using namespace std;
const int maxn=110;
const int inf=0x3fffffff;
int a[maxn][maxn+1];
int equ,var,free_num;
int n,m;
inline int gcd(int a,int b)
{
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int LCM(int a,int b)
{
return (a/gcd(a,b))*b;
}
void multi(int x)
{
int str[40];
memset(str,0,sizeof(str));
str[0]=1;
int c=1;
for(int i=1;i<=x;i++)
{
int g=0;
for(int j=0;j<c;j++)
{
str[j]=str[j]*2+g;
g=str[j]/10;
str[j]=str[j]%10;
}
if(g!=0) str[c++]=g;
}
for(int i=c-1;i>=0;i--)
cout<<str[i];
puts("");
}
void Gauss()
{
int k,col=0;
for(k=0;k<equ&&col<var;k++,col++)
{
int mx=k;
for(int i=k+1;i<equ;i++)
if(a[i][col]>a[mx][col]) mx=i;
if(mx!=k)
for(int i=k;i<var+1;i++) swap(a[k][i],a[mx][i]);
if(a[k][col]==0) { k--;continue; }
for(int i=k+1;i<equ;i++)
if(a[i][col]!=0)
{
int lcm=LCM(a[i][col],a[k][col]);
int ta=lcm/a[i][col],tb=lcm/a[k][col];
if(a[i][col]*a[k][col] < 0) tb = -tb;
for(int j=col;j<var+1;j++)
a[i][j]=((a[i][j]*ta)%2 - (a[k][j]*tb)%2+2)%2;
}
}
for(int i=k;i<equ;i++)
if(a[i][col]!=0) {puts("0");return ;}
multi(var-k);
}
int main()
{
int t,count=1;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d%d",&equ,&var);
memset(a,0,sizeof(a));
for(int i=0;i<equ;i++)
scanf("%d",&a[i][var]);
for(int i=0;i<var;i++)
{
int u,v;
scanf("%d",&u);
while(u--)
{
scanf("%d",&v);
v--;
a[v][i]=1;
}
}
Gauss();
}
return EXIT_SUCCESS;
}
hdu3364求多少组解http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3364
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=51;
const int inf=0x3fffffff;
int a[maxn][maxn+1],b[maxn][maxn+1];
int equ,var,free_num;
int n,m;
int gcd(int a,int b)
{
if(a<0) return gcd(-a,b);
if(b<0) return gcd(a,-b);
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
void Gauss()
{
int k,col=0;
for(k=0;k<equ&&col<var;k++,col++)
{
int mx=k;
for(int i=k+1;i<equ;i++)
if(a[i][col]>a[mx][col]) mx=i;
if(mx!=k)
for(int i=k;i<var+1;i++) swap(a[k][i],a[mx][i]);
if(!a[k][col]) { k--;continue; }
for(int i=k+1;i<equ;i++)
if(a[i][col]!=0)
{
int lcm=a[k][col]/gcd(a[k][col],a[i][col])*a[i][col];
int ta=lcm/a[i][col],tb=lcm/a[k][col];
if(a[i][col]*a[k][col] < 0) tb = -tb;
for(int j=col;j<var+1;j++)
a[i][j]=((a[i][j]*ta)%2 - (a[k][j]*tb)%2+2)%2;
}
}
for(int i=k;i<equ;i++)
if(a[i][col]) {puts("0");return ;}
printf("%I64d\n",1LL<<(var-k));
}
int main()
{
int t,count=1;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d%d",&equ,&var);
memset(b,0,sizeof(b));
for(int i=0;i<var;i++)
{
int q;
scanf("%d",&q);
while(q--)
{
int num;
scanf("%d",&num);
num--;
b[num][i]=1;
}
}
printf("Case %d:\n",count++);
int q;
scanf("%d",&q);
while(q--)
{
memcpy(a,b,sizeof(b));
for(int i=0;i<equ;i++)
scanf("%d",&a[i][var]);
Gauss();
}
}
//system("pause");
return EXIT_SUCCESS;
}
http://poj.org/problem?id=1681
动最少的砖，枚举自由元，找1的个数最少的那组解。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <stdio.h>
using namespace std;
const int inf=0x3fffffff;
const int maxn=15*15;
int a[maxn][maxn+1],x[maxn],equ,var,n;
char s[20][20];
void init()
{
equ=var=n*n;
for(int i=0;i<n;i++)
scanf("%s",s[i]);
memset(a,0,sizeof(a));
for(int i=0;i<var;i++) a[i][var]= (s[i/n][i%n]!='y'),a[i][i]=1;
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
{
/* if(i!=0) a[(i-1)*n+j][i*n+j]=1;
if(i!=n-1) a[(i+1)*n+j][i*n+j]=1;
if(j!=0) a[i*n+j-1][i*n+j]=1;
if(j!=n-1) a[i*n+j+1][i*n+j]=1;*/
if(i-1>=0) a[i*n+j][(i-1)*n+j]=1;
if(i+1<n) a[i*n+j][(i+1)*n+j]=1;
if(j-1>=0) a[i*n+j][i*n+j-1]=1;
if(j+1<n) a[i*n+j][i*n+j+1]=1;
}
}
void debug()
{
for(int i=0;i<equ;i++)
{
for(int j=0;j<=var;j++)
cout<<a[i][j]<<" ";
cout<<endl;
}
cout<<endl;
}
int gcd(int a,int b)
{
if(a<0) return gcd(-a,b);
if(b<0) return gcd(a,-b);
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int gauss()
{
int k,col;
for(k=col=0;k<equ&&col<var;k++,col++)
{
int mx=k;
for(int i=k+1;i<equ;i++)
if(a[i][col]>a[mx][col]) mx=i;
if(k!=mx){
for(int i=k;i<var+1;i++)
swap(a[k][i],a[mx][i]);
}
if(!a[k][col]){
k--;continue;
}
for(int i=k+1;i<equ;i++)
if(a[i][col])
{
int lcm=a[k][col]/gcd(a[k][col],a[i][col])*a[i][col];
int ta=lcm/a[i][col],tb=lcm/a[k][col];
for(int j=col;j<var+1;j++)
a[i][j]=((a[i][j]*ta-a[k][j]*tb)%2+2)%2;
}
}
// debug();
for(int i=k;i<equ;i++)
if(a[i][col]) return inf;
for(int i=0,j;i<equ;i++)
if(!a[i][i])
{
for(j=i+1;j<var;j++)
if(a[i][j]) break;
if(j>=var) break;
for(int r=0;r<equ;r++) swap(a[r][i],a[r][j]);
}
/* int ret=inf,lim= (1<<(var-k));
for(int j=0;j<lim;j++)
{
for(int i=0;i<(var-k);i++)
if(j&(1<<i)) x[equ-1-i]=1;
else x[equ-1-i]=0;
for(int i=k-1;i>=0;i--)
{
int tmp=a[i][var];
for(int j=i+1;j<var;j++)
tmp=((tmp-a[i][j]*x[j])%2+2)%2;
x[i]=tmp/a[i][i]%2;
}
int cnt=0;
for(int i=0;i<var;i++)
if(x[i]) cnt++;
ret=min(cnt,ret);
if(ret==0) break;
}*/ // 二进制枚举
int Min=inf;
for(int j=0;j<(1<<(equ-k));j++)
{
int tmp=j,p=equ-1;
while(tmp) x[p--]=tmp%2,tmp>>=1;
for(int i=k-1;i>=0;i--)
{
int tmp=a[i][var]%2;
for(int j=i+1;j<var;j++)
if(a[i][j]) tmp=(tmp-a[i][j]*x[j]%2+2)%2;
x[i]=(tmp/a[i][i])%2;
}
tmp=0;
for(int i=0;i<var;i++) tmp+=x[i];
Min=min(Min,tmp);
if(Min==0)
break;
} //全部枚举
return Min;
}
int main()
{
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%d",&n);
init();
// debug();
int re=gauss();
//cout<<re<<endl;
if(re==inf) puts("inf");
else printf("%d\n",re);
}
return 0;
}
http://poj.org/problem?id=1753
同上，不贴代码了
http://poj.org/problem?id=3185
没什么特别的
http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemId=3858
枚举四种图案，没什么特别的
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4200
连动题
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=101;
const int inf=0x3fffffff;
int a[maxn][maxn+1],x[maxn];
int equ,var,free_num;
int n,m;
int gcd(int a,int b)
{
if(a<0) return gcd(-a,b);
if(b<0) return gcd(a,-b);
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int Gauss()
{
int k,col=0;
for(k=0;k<equ&&col<var;k++,col++)
{
int mx=k;
for(int i=k+1;i<equ;i++)
if(a[i][col]>a[mx][col]) mx=i;
if(mx!=k)
for(int i=k;i<var+1;i++) swap(a[k][i],a[mx][i]);
if(!a[k][col]) { k--;continue; }
for(int i=k+1;i<equ;i++)
if(a[i][col]!=0)
{
int lcm=a[k][col]/gcd(a[k][col],a[i][col])*a[i][col];
int ta=lcm/a[i][col],tb=lcm/a[k][col];
if(a[i][col]*a[k][col] < 0) tb = -tb;
for(int j=col;j<var+1;j++)
a[i][j]=((a[i][j]*ta)%2 - (a[k][j]*tb)%2+2)%2;
}
}
for(int i=k;i<equ;i++)
if(a[i][var]) return inf;
for(int i=0,j;i<equ;i++)
if(!a[i][i])
{
for(j=i+1;j<var;j++)
if(a[i][j]) break;
if(var==j) break;
for(int r=0;r<equ;r++) swap(a[r][i],a[r][j]);
}
int ret=inf;
long long lim= (1<<(var-k));
for(long long j=0;j<lim;j++)
{
for(int i=0;i<(var-k);i++)
if(j&(1<<i)) x[equ-1-i]=1;
else x[equ-1-i]=0;
for(int i=k-1;i>=0;i--)
{
int tmp=a[i][var];
for(int j=i+1;j<var;j++)
tmp=((tmp-a[i][j]*x[j])%2+2)%2;
x[i]=tmp/a[i][i]%2;
}
int cnt=0;
for(int i=0;i<var;i++)
if(x[i]) cnt++;
ret=min(cnt,ret);
if(ret==0) break;
}
return ret;
}
void init()
{
memset(a,0,sizeof(a));
memset(x,0,sizeof(x));
for(int i=0;i<n;i++)
{
scanf("%d",&a[i][var]);
a[i][i]=1;
}
for(int i=0;i<n;i++)
{
int p,q;
if(i-m>=0) p=i-m;else p=0;
if(i+m<n) q=i+m;else q=n-1;
for(int j=p;j<=q;j++)
a[j][i]=1;
}
return ;
}
int main()
{
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d%d",&n,&m);
//cout<<"*"<<endl;
equ=n;var=n;
init();
int ans=Gauss();
if(ans==inf) puts("impossible");
else printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
http://poj.org/problem?id=2947
同余题
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=301;
const int inf=0x3fffffff;
int a[maxn][maxn+1],x[maxn];
int equ,var,free_num;
char str[8][4]={"MON","TUE","WED","THU","FRI","SAT","SUN"};
__int64 exGcd(__int64 a,__int64 b, __int64 &xx, __int64 &yy)
{
if(b == 0)
{
xx = 1;
yy = 0;
return a;
}
__int64 r = exGcd(b, a % b, xx, yy);
__int64 t = xx;
xx = yy;
yy = t - a / b * yy;
return r;
}
int gcd(int a,int b)
{
if(a<0) return gcd(-a,b);
if(b<0) return gcd(a,-b);
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
void Gauss()
{
int k,col=0;
__int64 xx,yy;
for(k=0;k<equ&&col<var;k++,col++)
{
int mx=k;
for(int i=k+1;i<equ;i++)
if(abs(a[i][col])>abs(a[mx][col])) mx=i;
if(mx!=k)
for(int i=k;i<var+1;i++) swap(a[k][i],a[mx][i]);
if(!a[k][col]) { k--;continue; }
for(int i=k+1;i<equ;i++)
if(a[i][col]!=0)
{
int lcm=a[k][col]/gcd(a[k][col],a[i][col])*a[i][col];
int ta=lcm/a[i][col],tb=lcm/a[k][col];
if(a[i][col]*a[k][col] < 0) tb = -tb;
for(int j=col;j<var+1;j++)
a[i][j]=((a[i][j]*ta)%7 - (a[k][j]*tb)%7+7)%7;
}
}
for(int i=k;i<equ;i++)
if(a[i][col]!=0) {puts("Inconsistent data.");return ;}
if(var>k){puts("Multiple solutions.");return ;}
for(int i=0,j;i<equ;i++)
if(a[i][i]==0)
{
for(j=i+1;j<var;j++)
if(a[i][j]) break;
//if(var==j) break;
if(j>=var) break;
for(int r=0;r<equ;r++) swap(a[r][i],a[r][j]);
}
for(int i=k-1;i>=0;i--)
{
int tmp=a[i][var]%7;
for(int j=i+1;j<var;j++)
if(a[i][j]) tmp=(tmp-a[i][j]*x[j]%7+7)%7;
__int64 d=exGcd(a[i][i],7,xx,yy);
if(tmp%d!=0){puts("Inconsistent data.");return ;}
else{
x[i]=tmp/d*xx%7+7;
x[i]=x[i]%(7/d);
}
while(x[i]<3) x[i]=x[i]+7;
}
for(int i=0;i<var;i++)
{
if(i==0) cout<<x[i];
else cout<<" "<<x[i];
}
puts("");
}
void init()
{
memset(a,0,sizeof(a));
memset(x,0,sizeof(x));
int d;
char s1[4],s2[4];
for(int i=0;i<equ;i++)
{
scanf("%d%s%s",&d,s1,s2);
int q1,q2;
for(int j=0;j<8;j++)
if(!strcmp(s1,str[j])){q1=j;break;}
for(int j=0;j<8;j++)
if(!strcmp(s2,str[j])){q2=j;break;}
while(d--)
{
int num;
scanf("%d",&num); num--;a[i][num]++;
a[i][num]%=7;
}
a[i][var]=(q2-q1+1+7)%7;
}
return ;
}
int main()
{
while(scanf("%d%d",&var,&equ)!=EOF)
{
if(var==0&&equ==0) break;
init();
Gauss();
}
return 0;
}
http://poj.org/problem?id=2065
题目大意：给你一个素数P(P<=30000)和一串长为n的字符串str[]。字母'*'代表0，字母a-z分别代表1-26，这n个字符所代表的数字分别代表f(1)、f(2)....f(n)。
定义: f (k) = ∑0<=i<=n-1aiki (mod p) (1<=k<=n,0<=ai<P)
求a0、a1.....an-1。题目保证肯定有唯一解
解题思路：高斯消元。根据上面的公式显然可以列出有n个未知数的n个方程式：
a0*1^0 + a1*1^1+a2*1^2+........+an-1*1^(n-1) = f(1)
a0*2^0 + a1*2^1+a2*2^2+........+an-1*2^(n-1) = f(2)
..............
a0*n^0 + a1*n^1+a2*n^2+........+an-1*n^(n-1) = f(n)
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <math.h>
using namespace std;
const int maxn=71;
const int inf=0x3fffffff;
int a[maxn][maxn+1],x[maxn];
int equ,var,p;
__int64 exGcd(__int64 a,__int64 b, __int64 &xx, __int64 &yy)
{
if(b == 0)
{
xx = 1;
yy = 0;
return a;
}
__int64 r = exGcd(b, a % b, xx, yy);
__int64 t = xx;
xx = yy;
yy = t - a / b * yy;
return r;
}
inline int gcd(int a,int b)
{
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int LCM(int a,int b)
{
return (a/gcd(a,b))*b;
}
void Gauss()
{
int k,col=0;
__int64 xx,yy;
for(k=0;k<equ&&col<var;k++,col++)
{
int mx=k;
for(int i=k+1;i<equ;i++)
if(abs(a[i][col])>abs(a[mx][col])) mx=i;
if(mx!=k)
for(int i=k;i<var+1;i++) swap(a[k][i],a[mx][i]);
if(a[k][col]==0) { k--;continue; }
for(int i=k+1;i<equ;i++)
if(a[i][col]!=0)
{
int lcm=LCM(a[i][col],a[k][col]);
int ta=lcm/a[i][col],tb=lcm/a[k][col];
if(a[i][col]*a[k][col] < 0) tb = -tb;
for(int j=col;j<var+1;j++)
a[i][j]=((a[i][j]*ta)%p - (a[k][j]*tb)%p+p)%p;
}
}
for(int i=0,j;i<equ;i++)
if(a[i][i]==0)
{
for(j=i+1;j<var;j++)
if(a[i][j]!=0) break;
if(j>=var) break;
for(int r=0;r<equ;r++) swap(a[r][i],a[r][j]);
}
for(int i=k-1;i>=0;i--)
{
int tmp=a[i][var]%p;
for(int j=i+1;j<var;j++)
if(a[i][j]) tmp=(tmp-a[i][j]*x[j]%p+p)%p;
__int64 d=exGcd(a[i][i],p,xx,yy);
x[i]=tmp/d*xx%p+p;
x[i]=x[i]%(p/d);
}
for(int i=0;i<var;i++)
{
if(i==0) cout<<x[i];
else cout<<" "<<x[i];
}
puts("");
}
char s[71];
void init()
{
memset(a,0,sizeof(a));
memset(x,0,sizeof(x));
scanf("%s",s);
equ=var=strlen(s);
for(int i=0;i<equ;i++)
{
if(s[i]=='*') a[i][var]=0;
else a[i][var]=s[i]-'a'+1;
a[i][var]%=p;
}
for(int i=0;i<equ;i++)
{
int tt=1;
for(int j=0;j<var;j++)
{
a[i][j]=tt;
tt*=(i+1);tt%=p;
}
}
return ;
}
int main()
{
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d",&p);
init();
Gauss();
}
return 0;
}