图形学笔记1——直线段扫描转换算法

 

DDA 法

已知过端点P₀（x0, y0）, P₁ (x1, y1)的直线段； 直线斜率k = (y1-y0) / (x1-x0) .

画线过程为： 从x的左端点x0开始，向x右端点 步进，步长=1（像素），按y=k x + b 计算相应的y坐标，并去像素点（x, round (y) ）作为当前点的坐标。

可以提高效率：

设步长为Δx， 有x _i+1 = xi +Δx, 于是： y_i+1=kx_i+1 +b = kx_i + kΔx +b= y_i +kΔx

当Δx=1时， 有y_i+1 = y_i +k 。 这样计算每一点，只需做一次加法运算。

note:

round (y) = int (y+0.5)， 当K>1时，必须把x, y的地位互换：y增加1，x相应增加1/k。

缺点：由于y与k须用浮点数表示，每一步都要对y进行四舍五入后取整，使得该算法不利于硬件实现。

 

改进 

目标：进一步将一个加法改为一个整数法加。

 

中点画线法：

通过观察发现，在画线段的过程中，当前像素点为（x_p, y_p），下一个像素点有两种选择P1（x_p+1, y_p）和P2（x_p+1, y_p+1）。若M=（x_p+1, y_p+0.5）为P1和P2之间中点。Q为理想直线与x = xp +1垂线的交点。 则当M在Q的下方时，P2为下一个像素点；当M在Q的上方时，应取P1为下一点。（如下图）

对直线段L（p₀（x₀, y₀）, p₁(x₁, y₁) ），采用方程

F (x, y ) = ax+by+c = 0 表示，其中 a = y₀ – y₁,

b = x₁ - x₀ ,  c = x₀y₁ – x₁y₀

于是有

 线内： F (x, y) = 0

上方： F (x, y) > 0

下方： F (x, y) < 0

要判断M在Q点上方还是下方，只要把M点坐标代入F(x, y)，并判断符号即可。

即判断 d = F(M) = F（x_p+1, y_p+0.5）= a (x_p+1)+ b (y_p+0.5) + c 的符号

d是x_p, y_p的线性函数，为提高计算效率，可以采用增量计算。

l       若d>=0，则取正右方象素P1 (x_p+1, y_p), 要判断下一个象素，应计算

     d1= F(x_p +2, y_p +0.5)=a (x_p+2)+ b (y_p+0.5) + c = d + a； 增量为a

l       若d<0，则取右上方象素P2 (x_p+1, y_p +1)。要判断再下一象素，应计算

     d2= F(x_p +2, y_p +1.5)=a (xp+2)+b (yp+1.5) + c= d + a + b ；增量为a＋b

设从点（x0, y0）开始画线，d的初值d₀ = F (x₀+1, y+0.5) = F ( x₀, y₀ ) + a + 0.5b.

F ( x₀, y₀ ) = 0, 则 d₀ = a + 0.5 b

进一步，由于d的增量都是整数，只有初始值包含小数，可以用2d代替d来摆脱浮点运算。 这是不影响符号判断的。

 

 

Bresenham算法

Bresenham算法类似于中点法，由误差项符号决定下一个像素取右边点还是右上点。

算法原理：

设直线方程为 y = kx +b, 则有 y_i+1= y_i + k (x_i+1 – x_i) = y_i + k .

设x列的坐标为（x_i, y_i）, 那么下一个像素的列坐标为x_i+1,

而行坐标要么仍为y_i，要么递增1为y_i+1。

是否增1取决于误差项d的值（如上图）

d的初值为0.

x下标每增加1，d的值相应增加k.

当d≥0.5时，直线与x_i+1列的交点更接近于

像素（x_i +1, y_i +1），即该像素在y方向递增1.

同时作为下一次计算的基点，因此d值减1.

当d<0.5时，交点更接近于像素（x_i +1, y_i）。

为方便计算，令e = d - 0.5, e的初值为-0.5. 增量为k.

void  Bresenhamline ( int  x0, int  y0,  int  x1,  int  y1,  int  color)

/**/ /* 起点(x0, y0) 终点（x1, y1）*/

... {   int x, y, dx, dy;

    float k, e;

    dx = x1-x0, dy = y1- y0, k=dy/dx;

    e=-0.5, x=x0, y=y0;

    for (i=0; i <= dx; i++)

    ...{    drawpixel (x, y, color);

          x=x+1，e=e+k;

          if (e³0)

          ...{ y++, e=e-1;}

    }

}

 

为避免小数与除法，可以改用整数： 做如下替换 e¹ = 2 * e * dx

Bresenham画线法程序

void  IntegerBresenhamline ( int  x0, int  y0,  int  x1,  int  y1,  int  color)

/**/ /* 起点(x0, y0) 终点（x1, y1）*/

... {   int x, y, dx, dy, e;

dx = x1-x0,  dy = y1- y0,  e = -dx;

    x=x0, y=y0;

    for (i=0; i <= dx; i++)  ...{  

 drawpixel (x, y, color);

          x=x++，e=e+2*dy;

          if (e >= 0 )  ...{ y++, e = e - 2*dx; }

    }

}