例题8-6 两亲性分子 UVa1606

1.题目描述：点击打开链接

2.解题思路：本题利用极角扫描法解决。极角扫描法的思想是这样的：首先，选择一个点作为基准点，然后求出其他点相对于该基准点的相对坐标，同时求出相对坐标系下的极角。对这些点按照极角由小到大排序。设L=0，R=0，那么每次都以O-p[L]这条线为分隔线，O-p[R]作为扫描线，用cnt来统计在分隔线左侧的点的个数（包括分隔线上的点）。看p[R]这个点是否在分隔线的左侧，如果是，R=(R+1)%k,cnt++。一直让O-p[R]这条扫描线转到刚刚超过180度时候停止，然后L++，cnt--，表示分隔线旋转，原来在分隔线的点成为了分隔线右侧的点了。

不过本题还运用了以下等效的思想，因为统计的是一侧的黑点+另一侧的白点数，不妨在算相对坐标时候把黑点换成白点，并将它旋转180度处理，这样就转化为统计一侧白点的数目了。另一个技巧是判断一个点是否在分隔线左侧利用Cross来判断，不会产生精度问题。

本题选基准点有O(N)种，对点按照极角排序时间是O(NlogN)，扫描时候的复杂度是O(N)，因此总的时间复杂度是O(N^2logN+N^2)。可以看做O(N^2logN)处理。

3.代码：

//#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
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#include<algorithm>
#include<cassert>
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#include<sstream>
#include<set>
#include<bitset>
#include<vector>
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#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<cctype>
#include<functional>
using namespace std;

#define me(s)  memset(s,0,sizeof(s))
#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)
typedef long long ll;
typedef unsigned int uint;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair <int, int> P;

const int N=1000+5;

struct Point
{
    int x,y;
    double rad;
    bool operator<(const Point&rhs)const
    {
        return rad<rhs.rad;
    }
}op[N],p[N];

int n,color[N];

bool Left(Point A,Point B)
{
    return A.x*B.y-A.y*B.x>=0;
}

int solve()
{
    if(n<=2)return 2;
    int ans=0;

    for(int i=0;i<n;i++)  //枚举基准点op[i]
    {
        int k=0;
        for(int j=0;j<n;j++)
            if(j!=i)
        {
            p[k].x=op[j].x-op[i].x;  //将其他点都转换为相对坐标
            p[k].y=op[j].y-op[i].y;
            if(color[j]){p[k].x=-p[k].x;p[k].y=-p[k].y;} //如果是黑点，将它绕原点旋转180度即可看做白点处理了
            p[k].rad=atan2(p[k].y,p[k].x);
            k++;
        }
        sort(p,p+k);

        int L=0,R=0,cnt=2;  //分隔线上有2个点
        while(L<k)  //O-p[L]作为分隔线，O-p[R]作为扫描线，注意，R一直是在0~k-1之间不停地循环着，直到L>=k才停止
        {
            if(R==L){R=(R+1)%k;cnt++;}  //空区域，暂时多计入一个点，最后舍去
            while(R!=L&&Left(p[L],p[R])) //扫描线一直逆时针旋转，直到旋转角度刚刚>180度停止统计
            {
                R=(R+1)%k;
                cnt++;
            }
            cnt--; //舍去多计入的点，也可以理解为由于分隔线的旋转，原来在分隔线上的点现在变为了右侧的点，要减掉一个
            L++;   //分隔线旋转
            ans=max(ans,cnt); //统计这一轮扫描的结果
        }
    }
    return ans;
}

int main()
{
    while(~scanf("%d",&n)&&n)
    {
        rep(i,n)
        scanf("%d%d%d",&op[i].x,&op[i].y,&color[i]);
        printf("%d\n",solve());
    }
}