编程原本(4~6)读书笔记
第四章 线性序
本章讨论了二元关系的性质比如传递性和对称性，着重介绍了全序和弱线性序，给数据的有序存储打下基础。
Relation(Op)=
HomogeneousPredicate(Op)
^Arity(Op) = 2 // 关系的定义：两元同源谓词
Property(R:Relation) // 传递性的定义
transitive:R
r->(r(a,b)^r(b,c) => r(a,c))
严格的(strict)：关系对其自身之间的作用无效。比如大于，对自己和自己比较是没有意义的。
自反的(reflexive): 关系对其自身之间总有这一关系。
对称的(symmetric)：如果关系在一个方向成立在另一方向也成立，比如A是B的兄弟，同样B也是A的兄弟。
反对称(asymmetric)：在一个方向成立绝对不在另一个方向成立，比如A是B的父亲，那B绝对不是A的父亲。
equivalence:R // 相等的完整定义： 具有传递 自反 对称这三种特性的一种关系
r-> transitive(r) ^ reflexive(r) ^ symmetric (r)
三分律(tri-chotomy law)：两个数之间的关系不是大于就是小于或者等于。
排序算法的稳定性：当两个元素相等时，比较的结果不会破坏其原来的顺序，举例来讲如果 a＝b，那么排序的结果不会让b跑到a前面。
第五章 有序代数结构
单位元： 它和任意其他元素组合总得到那个元素，比如乘法的1,加法的0
半群(semigroup):带有一个可交换的运算的集合。比如加法可交换那就是加半群，某些乘法就不是半群，比如矩阵相乘。
幺半群(monoid): 带有单位元的半群。 那带有0的加法，那就是加法幺半群。带有1的乘法就是乘法幺半群。
群(group):带有逆运算的幺半群。
半环：当一个类型同时有加法和乘法。
求余
作者写了一个递归形式的算法，还介绍了Floyd and Knuth的算法，我更倾向后面这种，
template<typename T>
requires(HalvableMonid(T))
T remainder_nonnegative_iterative(T a, T b)
{
if(a<b) return a;
T c=largest_double(a, b);
a =a-c;
while(c!=b){
c=half(c);
if(c<=a) a=a-c;
}
return a;
}
template<typename T>
requires(ArchimedeanMonoid(T))
T largest_doubling(T a, T b){
while(b<a-b) b= b+b;
return b;
}
最大公因子
gcd(a, b) = gcd(a-b, b)
先根据上门的公式实现一种简单的算法
template<typename T>
T substarctive_gcd_nozero(T a, T b){
while(true){
if(b<a) a=a-b;
else if(a<b) b=b-a;
else return a;
}
} 利用上面求余的快速算法，加上对特殊情况0的处理得到下面优化算法
template<typename T>
T fast_subtractive_gcd(T a, T b){
while(true){
if(b==T(0)) return a;
a = remainder_nonnegative_iterative(a, b);
if(a==T(0)) return b;
b=remainder_nonnegative_iterative(b,a);
}
}
商
template<typename T>
pair<QuotientType(T), T>
quotient_remainder_nonegative_iterative(T a, T b){
typedef QuotientType(T) N;
if(a<b) return pair<N,T>(N(0), a);
T c = largest_doubling(a, b);
a=a-c;
N n(1);
while(c!=b){
n=twice(n);
c=half(c);
if(c<=a){
a=a-c;
n=successor(n); // ++n
}
}
return pair<N, T>(n,a);
}
第六章 迭代器
迭代器就是stl的灵魂之一，本章从数学的角度对不同的迭代器进行了规范，由于使用stl时候已经感觉到迭代器的好处，所以就不再详细阅读。