线性代数（二）--有限维向量空间和线性映射

上篇文章已经讨论了什么是线性代数，线性代数就是研究有限维向量空间中线性映射的学科。

它由两个部件组成：有限维向量空间和线性映射

本文主要研究有限维向量空间的性质以及线性映射。

 

（一）有限维向量空间

关于有限维向量空间，最核心的观念是“结构”，（私下地认为，一切东西都是有结构的，结构是一切事物内在的一个属性，正如数的概念也是具有结构的，它能分为有理数和无理数等等各个具有不同性质的部件组成，非常的神奇），有限维向量空间同样是具有结构的，简单地说它能由它的少部分元素来描述整体。

我们最终的目的是想说明：一个有限维向量空间的每一个元素v能够由属于这个空间的一组元素（v1,v2,...,v_m) 唯一地表示，即v = a1*v1 + a2*v2+...+ am*v_m, 唯一意味着a1, a2, ..., am是唯一使得上述等式成立的系数。这里会有两个概念出现：线性相关和线性无关。 线性相关是指当v=0时，如果使得上述等式成立的(a1, a2,..., am)不唯一，那么就称v1, v2,.., v_m线性相关，否则就称为线性无关。

我们称由a1*v1 + a2*v2+...+ am*v_m构成的集合为(v1, v2,..., v_m)的张成，记为span（v1,v2,...,v_m)。如果一个向量空间V的一组向量（v1,v2,..., v_m)的张成恰好就是V，称（v1,v2,..., v_m)张成向量空间V，同时称这个向量空间是有限维的，如果（v1,v2,..., v_m)是线性无关的，那么这个向量组的长度就是这个向量空间的维度，即m。这个定义其实没有坚实的基础，因为能够张成一个向量空间的线性无关组可以有很多，能保证这些线性无关组的长度都是等长的吗？如果不能，那么向量空间的维度就是变化的，这就不合理了。幸运的是，能够张成向量空间的所有线性无关组长度都是相等的。

根据线性相关和张成的性质，我们可以推出下列关系：

如果（v1,v2,..., v_m)在V中是线性相关的，那么从向量组中去掉某一个向量vj，使得span（v1,v2,...,v(j-1),v(j+1), ..., v_m) = span（v1,v2,...,v_m)。

根据上述关系，给定向量空间中一个能够张成这个向量空间的线性相关向量组，如果通过不断去掉其中的一个向量，那么可以使得剩下的向量都是线性无关的，同时这些剩下的向量能够这个向量空间，称剩下的向量组是这个向量空间的基。如果基中的每个向量都是只有一个分量是非零的，其余分量都是为零的，那么就称这个基是标准基。所以，在向量空间中，每个张成组都是可以化简为一个基。同时也表明每个有限维向量空间都有基，而且每一个线性无关组都是可以扩充为一个基的。我们想象一个向量空间可以由任意的线性无关组来表达，或者来张成，如果为三维的空间，那么就是说我们的三根坐标其实可以任意设置，只要是相互垂直的，不影响这个向量空间的表达。

向量空间的结构，还体现在下列性质上：

如果一个向量空间有两个子空间V1, V2，那么存在下列性质：Dim(V1+V2) = Dim(V1) + Dim(V2) - Dim(V1和V2的交集), 其中Dim（V）表示V的维数。

是不是很像集合论里面的一个公式呢？：）

（二）线性映射

线性映射就是线性函数T：V->W，满足（1）T(v+u) = T(v) + T(u); （2）T(av) = aT(v); a是标量，v是向量。

函数嘛，必然会考虑定义域和值域，以及单射，满射等基本概念，这里就不谈了。

但是这里我们会着重通过线性映射引入矩阵的概念。

从上述的定义，我们知道线性映射是从一个空间V“射向”另外一个空间W，当然要满足一定性质地“射”。

而向量空间是有结构的，即可以由一个基来表示所有的向量（而且基不唯一），所以本质上从一个空间射向另外一个空间就是从一个空间的基射向另外一个空间的基；

这是什么意思呢？就是说空间的任何一个向量v都可以表示为基中的向量（v1,v2,..., v_m)的线性组合，那么要把v射为W中的一个向量w，而w可以由W中的基（w1,w2, ..., w_n)表示，只要我们能够把V中的每个基能映射为W中的基的表示，那么任意的一个v在W中对应的向量都可以通过W中的基来表示，即：

v1 = a11*w1 + a12*w2 + ...  + a1n*w_n

.......................................................................

vm = am1*w1+ am2*w2+ ....+ amn*w_n

而，v= a1*v1 + a2*v2+ ...+ am*v_m，将上述的式子带入，v就可以化为（w1,w2, ..., wn)的表示；从而就把v映射到了W中，所以最关键的就是两个向量空间的基的对应映射关系，只要这个对应关系确定了，那么线性映射也就确定了。

可以观察上述的式子，我们可以把这种对应关系简写为：

|a11  a12  ...  a1n |

|----------------------  |

|am1 am2.... amn |

我们称这个式子为矩阵，研究线性映射也就等价于研究矩阵。如果W也是V，即映射到自身，那么称这种线性映射为算子，T:V->V，对应的矩阵就是方阵。

矩阵上的运算，对应了线性映射的各种操作，如逆运算，就对应矩阵的逆，即把V->W，改为W-> V的操作。

矩阵的乘法，对应于线性映射T：V->W和R：W->U两个的相乘，即T.R: V->U。

是不是觉得矩阵的含义原来是这个意思，有点惊奇吧：）