HDOJ GCD 2588【欧拉函数】

GCD

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Problem Description

The greatest common divisor GCD(a,b) of two positive integers a and b,sometimes written (a,b),is the largest divisor common to a and b,For example,(1,2)=1,(12,18)=6.
(a,b) can be easily found by the Euclidean algorithm. Now Carp is considering a little more difficult problem:
Given integers N and M, how many integer X satisfies 1<=X<=N and (X,N)>=M.

 

Input

The first line of input is an integer T(T<=100) representing the number of test cases. The following T lines each contains two numbers N and M (2<=N<=1000000000, 1<=M<=N), representing a test case.

 

Output

For each test case,output the answer on a single line.

 

Sample Input

   
   
   
   

    
    
    
    3 1 1 10 2 10000 72
   
   
   
   

 

Sample Output

   
   
   
   

    
    
    
    1 6 260
   
   
   
   

题意：

计算1-N区间里有多少数和N的GCD是大于M的。

解题思路：

直接计算绝对超时，所以要想到采用一些定理来进行优化。

①我们先看两个数  N = a*b，X= a*d。因为gcd ( N , X ) = a  所以b,d这两个数互质。又因为d可以是任何一个小于b的数。所以d值数量的的多少就是b的欧拉函数值。

所以，我们可以枚举a，然后去求b，然后再求b的欧拉函数值。

②但是如果单纯这样全部枚举的话依旧会超时，所以我们要想一个办法去优化它。

我们可以折半枚举，这里的折半并不是二分的意思。

我们先看，我们枚举时，当i<sqrt(n),假设a=n / i， 当i>sqrt(n)之后 有b=n/i，我们观察到当n%i==0时，会出现一种情况，就是a*b==n。所以我们就可以只需要枚举sqrt(n)种情况，然后和它对应的情况就是 n/i。

我们这种枚举时间会快非常多。

AC代码：

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <vector>
#include <queue>
#include <string>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

int euler(int n)
{
    int res=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++){
        if(n%i==0){
           res=res/i*(i-1);
           while(n%i==0) n/=i;
        }
    }
    if(n>1) res-=res/n;
    return res;
}

int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        int n,m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        int ans=0;
        for(int i=1;i*i<=n;i++){
            if(n%i==0){
                if(i>=m)ans+=euler(n/i); //计算sqrt(n)左边的
                if(n/i>=m&&i*i!=n) ans+=euler(i);//计算sqrt(n)右边的i*i==n时，在上个语句已经执行
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}